（本小題滿分14分）已知圓的圓心為，半徑為，圓C與橢圓： 有一個公共點A(3,1)，F1、F2分別是橢圓的左、...

問題詳情：

（本小題滿分14分）已知圓的圓心為，半徑為，圓C與橢圓：  有一個公共點A(3,1)，F1、F2分別是橢圓的左、右焦點．

（1）求圓C的標準方程；

（2）若點P的座標為(4,4)，試探究斜率為k的直線PF1與圓C能否相切，若能，求出橢圓E和直線的方程;若不能，請說明理由．

【回答】

解：（1）由已知可設圓C的方程為 

將點A的座標代入圓C的方程，得

即，解得

∵   ∴      

∴圓C的方程為 ……………………….6分

（2）直線能與圓C相切

依題意設直線的方程為，即

若直線與圓C相切，則

∴，解得

當時，直線與x軸的交點橫座標為，不合題意，捨去

當時，直線與x軸的交點橫座標為，

∴

∴由橢圓的定義得：

∴，即，  ∴          

直線能與圓C相切，直線的方程為，橢圓E的方程為 ……….14分          

知識點：圓錐曲線與方程

題型：綜合題