（2019·湖南會考模擬）如圖，頂點座標為（2，﹣1）的拋物線y＝ax2+bx+c（a≠0）與y軸交於點C（0...

問題詳情：

（2019·湖南會考模擬）如圖，頂點座標為（2，﹣1）的拋物線y＝ax2+bx+c（a≠0）與y軸交於點C（0，3），與x軸交於A、B兩點．

（1）求拋物線的表示式；

（2）設拋物線的對稱軸與直線BC交於點D，連線AC、AD，求△ACD的面積；

（3）點E為直線BC上一動點，過點E作y軸的平行線EF，與拋物線交於點F．問是否存在點E，使得以D、E、F為頂點的三角形與△BCO相似？若存在，求點E的座標；若不存在，請說明理由．

【回答】

（1）y==x2-4x+3；

（2）AS△ACD=2；

（3）①∠DFE=90°時，E1（2+,1-）; E2（2-,1+）；②∠EDF=90°時，E3（1，2）、E4（4，-1）．

【解析】

解：（1）依題意，設拋物線的解析式為 y=a（x-2）2-1，代入C（O，3）後，得： a（0-2）2-1=3，a=1 ∴拋物線的解析式：y=（x-2）2-1=x2-4x+3． （2）由（1）知，A（1，0）、B（3，0）； 設直線BC的解析式為：y=kx+3，代入點B的座標後，得： 3k+3=0，k=-1 ∴直線BC：y=-x+3； 由（1）知：拋物線的對稱軸：x=2，則 D（2，1）； ∴AD==，AC==，CD==2， 即：AC2=AD2+CD2，△ACD是直角三角形，且AD⊥CD； ∴S△ACD=AD•CD=××2=2． （3）由題意知：EF∥y軸，則∠FED=∠OCB，若△OCB與△FED相似，則有： ①∠DFE=90°，即 DF∥x軸； 將點D縱座標代入拋物線的解析式中，得： x2-4x+3=1，解得 x=2±； 當x=2+時，y=-x+3=1-； 當x=2-時，y=-x+3=1+； ∴E1（2+，1-）、E2（2-，1+）． ②∠EDF=90°； 易知，直線AD：y=x-1，聯立拋物線的解析式有： x2-4x+3=x-1， x2-5x+4=0， 解得 x1=1、x2=4； 當x=1時，y=-x+3=2； 當x=4時，y=-x+3=-1； ∴E3（1，2）、E4（4，-1）； 綜上，存在符合條件的點E，且座標為：（2+，1-）、（2-，1+）、（1，2）或（4，-1）． “點睛”此題主要考查了函式解析式的確定、圖形面積的解法以及相似三角形的判定和*質等知識；需要注意的是，已知兩個三角形相似時，若對應邊不相同，那麼得到的結果就不一定相同，所以一定要進行分類討論．

知識點：二次函式與一元二次方程

題型：解答題