(2019·海南會考模擬)已知:如圖,拋物線y=ax2+bx+c與座標軸分別交於點A(0,6),B(6,0),...
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問題詳情:
(2019·海南會考模擬)已知:如圖,拋物線y=ax2+bx+c與座標軸分別交於點A(0,6),B(6,0),C(﹣2,0),點P是線段AB上方拋物線上的一個動點.
(1)求拋物線的解析式;
(2)當點P運動到什麼位置時,△PAB的面積有最大值?
(3)過點P作x軸的垂線,交線段AB於點D,再過點P做PE∥x軸交拋物線於點E,連結DE,請問是否存在點P使△PDE為等腰直角三角形?若存在,求出點P的座標;若不存在,說明理由.
【回答】
(1)拋物線解析式為y=﹣x2+2x+6;(2)當t=3時,△PAB的面積有最大值;(3)點P(4,6).
【解析】
(1)∵拋物線過點B(6,0)、C(﹣2,0),
∴設拋物線解析式為y=a(x﹣6)(x+2),
將點A(0,6)代入,得:﹣12a=6,
解得:a=﹣,
所以拋物線解析式為y=﹣(x﹣6)(x+2)=﹣x2+2x+6;
(2)如圖1,過點P作PM⊥OB與點M,交AB於點N,作AG⊥PM於點G,
設直線AB解析式為y=kx+b,
將點A(0,6)、B(6,0)代入,得:
,
解得:,
則直線AB解析式為y=﹣x+6,
設P(t,﹣t2+2t+6)其中0<t<6,
則N(t,﹣t+6),
∴PN=PM﹣MN=﹣t2+2t+6﹣(﹣t+6)=﹣t2+2t+6+t﹣6=﹣t2+3t,
∴S△PAB=S△PAN+S△PBN
=PN•AG+PN•BM
=PN•(AG+BM)
=PN•OB
=×(﹣t2+3t)×6
=﹣t2+9t
=﹣(t﹣3)2+,
∴當t=3時,△PAB的面積有最大值;
(3)如圖2,
∵PH⊥OB於H,
∴∠DHB=∠AOB=90°,
∴DH∥AO,
∵OA=OB=6,
∴∠BDH=∠BAO=45°,
∵PE∥x軸、PD⊥x軸,
∴∠DPE=90°,
若△PDE為等腰直角三角形,
則∠EDP=45°,
∴∠EDP與∠BDH互為對頂角,即點E與點A重合,
則當y=6時,﹣x2+2x+6=6,
解得:x=0(舍)或x=4,
即點P(4,6).
【點睛】本題考查了二次函式的綜合問題,涉及到待定係數法、二次函式的最值、等腰直角三角形的判定與*質等,熟練掌握和靈活運用待定係數法求函式解析式、二次函式的*質、等腰直角三角形的判定與*質等是解題的關鍵.
知識點:二次函式與一元二次方程
題型:綜合題
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