（2019·*蘇會考模擬）如圖，已知二次函式y=ax2+2x+c的圖象經過點C（0，3），與x軸分別交於點A，...

問題詳情：

（2019·*蘇會考模擬）如圖，已知二次函式y=ax2+2x+c的圖象經過點C（0，3），與x軸分別交於點A，點B（3，0）．點P是直線BC上方的拋物線上一動點．

（1）求二次函式y=ax2+2x+c的表示式；

（2）連線PO，PC，並把△POC沿y軸翻折，得到四邊形POP′C．若四邊形POP′C為菱形，請求出此時點P的座標；

（3）當點P運動到什麼位置時，四邊形ACPB的面積最大？求出此時P點的座標和四邊形ACPB的最大面積．

【回答】

（1）y=﹣x2+2x+3（2）（，）（3）當點P的座標為（，）時，四邊形ACPB的最大面積值為

【解析】

（1）將點B和點C的座標代入函式解析式，得

解得

二次函式的解析式為y=﹣x2+2x+3；

（2）若四邊形POP′C為菱形，則點P線上段CO的垂直平分線上，

如圖1，連線PP′，則PE⊥CO，垂足為E，

∵C（0，3），

∴

∴點P的縱座標，

當時，即

解得（不合題意，舍），

∴點P的座標為

（3）如圖2，

P在拋物線上，設P（m，﹣m2+2m+3），

設直線BC的解析式為y=kx+b，

將點B和點C的座標代入函式解析式，得

解得

直線BC的解析為y=﹣x+3，

設點Q的座標為（m，﹣m+3），

PQ=﹣m2+2m+3﹣（﹣m+3）=﹣m2+3m．

當y=0時，﹣x2+2x+3=0，

解得x1=﹣1，x2=3，

OA=1，

S四邊形ABPC=S△ABC+S△PCQ+S△PBQ

當m=時，四邊形ABPC的面積最大．

當m=時，，即P點的座標為

當點P的座標為時，四邊形ACPB的最大面積值為．

【點睛】

本題考查了二次函式綜合題，解（1）的關鍵是待定係數法；解（2）的關鍵是利用菱形的*質得出P點的縱座標，又利用了自變數與函式值的對應關係；解（3）的關鍵是利用面積的和差得出二次函式，又利用了二次函式的*質．

知識點：二次函式與一元二次方程

題型：解答題