设f(x)=x3+mx2+nx.(1)如果g(x)=f′(x)-2x-3在x=-2处取得最小值-5,求f(x)...
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设f(x)=x3+mx2+nx.
(1)如果g(x)=f′(x)-2x-3在x=-2处取得最小值-5,求f(x)的解析式;
(2)如果m+n<10(m,n∈N*),f(x)的单调递减区间的长度是正整数,试求m和n的值.(注:区间(a,b)的长度为b-a).
【回答】
解析 (1)由题得g(x)=x2+2(m-1)x+(n-3)=(x+m-1)2+(n-3)-(m-1)2,已知g(x)在x=-2处取得最小值-5,
所以即m=3,n=2.
即得所要求的解析式为f(x)=x3+3x2+2x.
(2)因为f′(x)=x2+2mx+n,且f(x)的单调递减区间的长度为正整数,故f′(x)=0一定有两个不同的根,
从而Δ=4m2-4n>0,即m2>n.
不妨设为x1,x2,则|x2-x1|=2为正整数.
故m≥2时才可能有符合条件的m,n,
当m=2时,只有n=3符合要求,
当m=3时,只有n=5符合要求,
当m≥4时,没有符合要求的n.
综上所述,只有m=2,n=3或m=3,n=5满足上述要求.
知识点:导数及其应用
题型:解答题
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