已知函数f(x)=2lnx﹣3x2﹣11x.(1)求曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程;(2)若...
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已知函数f(x)=2lnx﹣3x2﹣11x.
(1)求曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程;
(2)若关于x的不等式f(x)≤(a﹣3)x2+(2a﹣13)x+1恒成立,求整数a的最小值.
【回答】
解:(1)∵f′(x)=,f′(1)=﹣15,f(1)=﹣14,
∴曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程为:y﹣14=﹣15(x﹣1),即y=﹣15x+1;
(2)令g(x)=f(x)﹣(a﹣3)x2﹣(2a﹣13)x﹣1=2lnx﹣ax2+(2﹣2a)x﹣1,
∴g′(x)=.
当a≤0时,∵x>0,∴g′(x)>0,则g(x)是(0,+∞)上的递增函数.
又g(1)=﹣a+2﹣2a﹣1=1﹣3a>0,∴不等式f(x)≤(a﹣3)x2+(2a﹣13)x+1不恒成立;
当a>0时,g′(x)=.
令g′(x)=0,得x=,∴当x∈(0,)时,g′(x)>0;当x∈(,+∞)时,g′(x)<0.
因此,g(x)在(0,)上是增函数,在(,+∞)上是减函数.
故函数g(x)的最大值为g()=≤0.
令h(a)=. 则h(a)在(0,+∞)上是减函数,
∵h(1)=﹣2<0, ∴当a≥1时,h(a)<0,∴整数a的最小值为1.
知识点:基本初等函数I
题型:解答题
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