设f(x)=a(x﹣5)2+6lnx,其中a∈R,曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线与y轴相交于点(...
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设f(x)=a(x﹣5)2+6lnx,其中a∈R,曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线与y轴相交于点(0,6).
(1)确定a的值;
(2)求函数f(x)的单调区间与极值.
【回答】
【考点】6B:利用导数研究函数的单调*;6C:函数在某点取得极值的条件;6H:利用导数研究曲线上某点切线方程.
【分析】(1)先由所给函数的表达式,求导数fˊ(x),再根据导数的几何意义求出切线的斜率,最后由曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线与y轴相交于点(0,6)列出方程求a的值即可;
(2)由(1)求出的原函数及其导函数,求出导函数的零点,把函数的定义域分段,判断导函数在各段内的符号,从而得到原函数的单调区间,根据在各区间内的单调*求出极值点,把极值点的横坐标代入函数解析式求得函数的极值.
【解答】解:(1)因f(x)=a(x﹣5)2+6lnx,故f′(x)=2a(x﹣5)+,(x>0),
令x=1,得f(1)=16a,f′(1)=6﹣8a,
∴曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程为y﹣16a=(6﹣8a)(x﹣1),
由切线与y轴相交于点(0,6).
∴6﹣16a=8a﹣6,
∴a=.
(2)由(I)得f(x)=(x﹣5)2+6lnx,(x>0),
f′(x)=(x﹣5)+=,令f′(x)=0,得x=2或x=3,
当0<x<2或x>3时,f′(x)>0,故f(x)在(0,2),(3,+∞)上为增函数,
当2<x<3时,f′(x)<0,故f(x)在(2,3)上为减函数,
故f(x)在x=2时取得极大值f(2)=+6ln2,在x=3时取得极小值f(3)=2+6ln3.
知识点:导数及其应用
题型:解答题
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