如图,一颗棋子从三棱柱的一个顶点沿棱移到相邻的另一个顶点的概率均为,刚开始时,棋子在上底面点A处,若移了n次...

问题详情：

 如图,一颗棋子从三棱柱的一个顶点沿棱移到相邻的另一个顶点的概率均为,刚开始时,棋子在上底面点A处,若移了n次后,棋子落在上底面顶点的概率记为pn.

(1) 求p1,p2的值;

(2) 求*:>.

【回答】

(1) p1=,p2=×+×=.

(2) 因为移了n次后棋子落在上底面顶点的概率为pn,故落在下底面顶点的概率为1-pn.于是移了(n+1)次后棋子落在上底面顶点的概率为=pn+(1-pn)=pn+.

从而-=.

所以数列是等比数列,其首项为,公比为.

所以pn-=×,即pn=+×.

用数学归纳法*:

①当n=1时,左式==,右式=,因为>,所以不等式成立.

当n=2时,左式=+=,右式=,因为>,所以不等式成立.

②假设n=k(k≥2)时,不等式成立,即>.

则n=k+1时,左式=+>+=+.

要*+≥,只要*≥-,

只要*≥,只要*≤,

只要*3k+1≥2k2+6k+2.

因为k≥2,

所以3k+1=3(1+2)k≥3(1+2k+4)=6k2+3=2k2+6k+2+2k(2k-3)+1>2k2+6k+2,

所以+≥.

即n=k+1时,不等式也成立.

由①②可知,不等式>对任意的n∈N*都成立.

知识点：概率

题型：解答题