如图,设A是由n×n个实数组成的n行n列的数表,其中aij(i,j=1,2,3,…,n)表示位于第i行第j列的...

问题详情：

如图,设A是由n×n个实数组成的n行n列的数表,其中aij(i,j=1,2,3,…,n)表示位于第i行第j列的实数,且aij∈{1,-1}.记S(n,n)为所有这样的数表构成的*.对于A∈S(n,n),记ri(A)为A的第i行各数之积,cj(A)为A的第j列各数之积.令l(A)=ri(A)+cj(A).

(1)对如下数表A∈S(4,4),求l(A)的值;

(2)*存在A∈S(n,n),使得l(A)=2n-4k,其中k=0,1,2,…,n;

(3)给定n为奇数,对于所有的A∈S(n,n),*l(A)≠0.

【回答】

 (1)解:r1(A)=r3(A)=r4(A)=1,r2(A)=-1;c1(A)=c2(A)=c4(A)=-1,c3(A)=1,

所以l(A)=ri(A)+cj(A)=0.

(2) *:数表A0中aij=1(i,j=1,2,3,…,n),显然l(A0)=2n.

将数表A0中的a11由1变为-1,得到数表A1,显然l(A1)=2n-4.

将数表A1中的a22由1变为-1,得到数表A2,显然l(A2)=2n-8.

依此类推,将数表Ak-1中的akk由1变为-1,得到数表Ak.

即数表Ak满足:a11=a22=…=akk=-1(1≤k≤n),其余aij=1.

所以r1(A)=r2(A)=…=rk(A)=-1,c1(A)=c2(A)=…=ck(A)=-1.

所以l(Ak)=2[(-1)×k+(n-k)]=2n-4k,其中k=0,1,2,…,n;

【注:数表Ak不唯一】

(3) *: (反*法)

假设存在A∈S(n,n),其中n为奇数,使得l(A)=0.

因为ri(A)∈{1,-1},cj(A)∈{1,-1}(1≤i≤n,1≤j≤n),

所以r1(A),r2(A),…,rn(A),c1(A),c2(A),…,cn(A)这2n个数中有n个1,n个-1.

令M=r1(A)·r2(A)·…·rn(A)·c1(A)·c2(A)·…·cn(A).

一方面,由于这2n个数中有n个1,n个-1,从而M=(-1)n=-1.①

另一方面,r1(A)·r2(A)·…·rn(A)表示数表中所有元素之积(记这n2个实数之积为m);c1(A)·c2(A)·…·cn(A)也表示m,从而M=m2=1.  ②

①②相互矛盾,从而不存在A∈S(n,n),使得l(A)=0.

即当n为奇数时,必有l(A)≠0.

知识点：推理与*

题型：解答题