在数学兴趣小组活动中，小亮进行数学探究活动．△ABC是边长为2的等边形，E是AC上一点，小亮以BE为边向BE的...

问题详情：

在数学兴趣小组活动中，小亮进行数学探究活动．△ABC是边长为2的等边形，E是AC上一点，小亮以BE为边向BE的右侧作等边三角形BEF，连接CF．

（1）如图1，当点E在线段AC上时，EF、BC相交于点D，小亮发现有两个三角形全等，请你找出来，并*．

（2）当点E在线段上运动时，点F也随着运动，若四边形ABFC的面积为，求AE的长．

（3）如图2，当点E在AC的延长线上运动时，CF、BE相交于点D，请你探求△ECD的面积S1与△DBF的面积S2之间的数量关系．并说明理由．

（4）如图2，当△ECD的面积S1=时，求AE的长．

【回答】

分析】（1）结论：△ABE≌△CBF．理由等边三角形的*质，根据SAS即可*；

（2）由△ABE≌△CBF，推出S△ABE=S△BCF，推出S四边形BECF=S△BEC+s△BCF=S△BCE+S△ABE=S△ABC=，由S四边形ABCF=，推出S△ABE=，再利用三角形的面积公式求出AE即可；

（3）结论：S2﹣S1=．利用全等三角形的*质即可*；

（4）首先求出△BDF的面积，由CF∥AB，则△BDF的BF边上的高为，可得DF=，设CE=x，则2+x=CD+DF=CD+，推出CD=x﹣，由CD∥AB，可得=，即=，求出x即可；

【解答】解：（1）结论：△ABE≌△CBF．

理由：如图1中，

∴∵△ABC，△BEF都是等边三角形，

∴BA=BC，BE=BF，∠ABC=∠EBF，

∴∠ABE=∠CBF，

∴△ABE≌△CBF．

（2）如图1中，∵△ABE≌△CBF，

∴S△ABE=S△BCF，

∴S四边形BECF=S△BEC+s△BCF=S△BCE+S△ABE=S△ABC=，

∵S四边形ABCF=，

∴S△ABE=，

∴•AE•AB•siin60°=，

∴AE=．

（3）结论：S2﹣S1=．

理由：如图2中，

∵∵△ABC，△BEF都是等边三角形，

∴BA=BC，BE=BF，∠ABC=∠EBF，

∴∠ABE=∠CBF，

∴△ABE≌△CBF，

∴S△ABE=S△BCF，

∵S△BCF﹣S△BCE=S2﹣S1，

∴S2﹣S1=S△ABE﹣S△BCE=S△ABC=．

（4）由（3）可知：S△BDF﹣S△ECD=，∵S△ECD=，

∴S△BDF=，

∵△ABE≌△CBF，

∴AE=CF，∠BAE=∠BCF=60°，

∴∠ABC=∠DCB，

∴CF∥AB，则△BDF的BF边上的高为，可得DF=，设CE=x，则2+x=CD+DF=CD+，

∴CD=x﹣，

∵CD∥AB，

∴=，即=，

化简得：3x2﹣x﹣2=0，

解得x=1或﹣（舍弃），

∴CE=1，AE=3．

【点评】本题考查四边形综合题、全等三角形的判定和*质、平行线等分线段定理、解直角三角形等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，学会理由参数构建方程解决问题，属于中考压轴题．

知识点：各地中考

题型：选择题