某数学兴趣小组在数学课外活动中，研究三角形和正方形的*质时，做了如下探究：在△ABC中，∠BAC＝90°，AB...

问题详情：

某数学兴趣小组在数学课外活动中，研究三角形和正方形的*质时，做了如下探究：在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点D为直线BC上一动点(点D不与B，C重合)，以AD为边在AD右侧作正方形ADEF，连接CF．

(1)观察猜想

如图①，当点D在线段BC上时．

①BC与CF的位置关系为：____________；

②BC，CD，CF之间的数量关系为：____________；(将结论直接写在横线上)

(2)数学思考

如图②，当点D在线段CB的延长线上时，结论①，②是否仍然成立？若成立，请给予*；若不成立，请你写出正确结论再给予*；

(3)拓展延伸

如图③，当点D在线段BC的延长线上时，延长BA交CF于点G，连接GE．若已知AB＝2，CD＝BC，请求出GE的长．

第26题图 

 

【回答】

解：①垂直；         

② BC = CF+ CD       

（2）CF⊥BC成立；BC=CD+CF不成立，CD=CF+BC．

∵正方形ADEF中，AD=AF，∠BAC=∠DAF=90°，

∴∠BAD=∠CAF，

在△DAB与△FAC中，，

∴△DAB≌△FAC，

∴∠ABD=∠ACF，

∴∠BCF=∠ACF﹣∠ACB=135°﹣45°=90°，

∴CF⊥BC．

∵CD=DB+BC，DB=CF，

∴CD=CF+BC．        

（3）解：过A作AH⊥BC于H，过E作EM⊥BD于M，EN⊥CF于N，

∵∠BAC=90°，AB=AC，

∴BC=AB=4，AH=BC=2，

∴CD=BC=1，CH=BC=2，

∴DH=3，

由（2）*得BC⊥CF，CF=BD=5，

∵BC⊥CF，EM⊥BD，EN⊥CF，

∴四边形CMEN是矩形，

∴NE=CM，EM=CN，

又∵∠ADH+∠EDM=90° ,∠EDM+∠DEM=90°,

∴∠ADH=∠DEM.

在△ADH与△DEM中，，

∴△ADH≌△DEM，

∴DH=EM=CN=3.

又∵△BCG是等腰直角三角形，

∴CG=BC=4，

∴，

∴EG==．

知识点：特殊的平行四边形

题型：解答题