如图1,在△ABC中,∠ACB=90°,∠CAB=30°,△ABD是等边三角形,E是AB的中点,连接CE并延长...
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如图1,在△ABC中,∠ACB=90°,∠CAB=30°,△ABD是等边三角形,E是AB的中点,连接CE并延长交AD于F.
(1)求*:①△AEF≌△BEC;②四边形BCFD是平行四边形;
(2)如图2,将四边形ACBD折叠,使D与C重合,HK为折痕,求sin∠ACH的值.
【回答】
分析: (1)①在△ABC中,由已知可得∠ABC=60°,从而推得∠BAD=∠ABC=60°.由E为AB的中点,得到AE=BE.又因为∠AEF=∠BEC,所以△AEF≌△BEC.
②在Rt△ABC中,E为AB的中点,则CE=AB,BE=AB,得到∠BCE=∠EBC=60°.由△AEF≌△BEC,得∠AFE=∠BCE=60°.又∠D=60°,得∠AFE=∠D=60度.所以FC∥BD,又因为∠BAD=∠ABC=60°,所以AD∥BC,即FD∥BC,则四边形BCFD是平行四边形.
(2)在Rt△ABC中,设BC=a,则AB=2BC=2a,AD=AB=2a.设AH=x,则HC=HD=AD﹣AH=2a﹣x.在Rt△ABC中,由勾股定理得AC2=3a2.
在Rt△ACH中,由勾股定理得AH2+AC2=HC2,即x2+3a2=(2a﹣x)2.解得x=a,即AH=a.求得HC的值后,利用sin∠ACH=AH:HC求值.
解答: (1)*:①在△ABC中,∠ACB=90°,∠CAB=30°,
∴∠ABC=60°.
在等边△ABD中,∠BAD=60°,
∴∠BAD=∠ABC=60°.
∵E为AB的中点,
∴AE=BE.
又∵∠AEF=∠BEC,
∴△AEF≌△BEC.
②在△ABC中,∠ACB=90°,E为AB的中点,
∴CE=AB,BE=AB.
∴∠BCE=∠EBC=60°.
又∵△AEF≌△BEC,
∴∠AFE=∠BCE=60°.
又∵∠D=60°,
∴∠AFE=∠D=60°.
∴FC∥BD.
又∵∠BAD=∠ABC=60°,
∴AD∥BC,即FD∥BC.
∴四边形BCFD是平行四边形.
(2)解:∵∠BAD=60°,∠CAB=30°,
∴∠CAH=90°.
在Rt△ABC中,∠CAB=30°,设BC=a,
∴AB=2BC=2a.
∴AD=AB=2a.
设AH=x,则HC=HD=AD﹣AH=2a﹣x,
在Rt△ABC中,AC2=(2a)2﹣a2=3a2,
在Rt△ACH中,AH2+AC2=HC2,即x2+3a2=(2a﹣x)2,
解得x=a,即AH=a.
∴HC=2a﹣x=2a﹣a=a.
∴sin∠ACH==.
知识点:各地中考
题型:解答题
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