如图，在△ABC和△BCD中，∠BAC=∠BCD=90°，AB=AC，CB=CD．延长CA至点E，使AE=AC...

问题详情：

如图，在△ABC和△BCD中，∠BAC=∠BCD=90°，AB=AC，CB=CD．延长CA至点E，使AE=AC；延长CB至点F，使BF=BC．连接AD，AF，DF，EF．延长DB交EF于点N．

（1）求*：AD=AF；

（2）求*：BD=EF；

（3）试判断四边形ABNE的形状，并说明理由．

【回答】

【考点】KD：全等三角形的判定与*质；LF：正方形的判定．

【分析】（1）由等腰直角三角形的*质得出∠ABC=∠ACB=45°，求出∠ABF=135°，∠ABF=∠ACD，*出BF=CD，由SAS*△ABF≌△ACD，即可得出AD=AF；

（2）由（1）知AF=AD，△ABF≌△ACD，得出∠FAB=∠DAC，*出∠EAF=∠BAD，由SAS*△AEF≌△ABD，得出对应边相等即可；

（3）由全等三角形的*质得出得出∠AEF=∠ABD=90°，*出四边形ABNE是矩形，由AE=AB，即可得出四边形ABNE是正方形．

【解答】（1）*：∵AB=AC，∠BAC=90°，

∴∠ABC=∠ACB=45°，

∴∠ABF=135°，

∵∠BCD=90°，

∴∠ABF=∠ACD，

∵CB=CD，CB=BF，∴BF=CD，

在△ABF和△ACD中，

，

∴△ABF≌△ACD（SAS），

∴AD=AF；

（2）*：由（1）知，AF=AD，△ABF≌△ACD，

∴∠FAB=∠DAC，

∵∠BAC=90°，

∴∠EAB=∠BAC=90°，

∴∠EAF=∠BAD，

在△AEF和△ABD中，

，

∴△AEF≌△ABD（SAS），

∴BD=EF；

（3）解：四边形ABNE是正方形；理由如下：

∵CD=CB，∠BCD=90°，

∴∠CBD=45°，

由（2）知，∠EAB=90°，△AEF≌△ABD，

∴∠AEF=∠ABD=90°，

∴四边形ABNE是矩形，

又∵AE=AB，

∴四边形ABNE是正方形．

【点评】本题考查了全等三角形的判定与*质、等腰直角三角形的*质、正方形的判定、矩形的判定；熟练掌握等腰直角三角形的*质，*三角形全等是解决问题的关键．

知识点：三角形全等的判定

题型：综合题