(2017•重庆)如图,在平面直角坐标系中,抛物线y=x2﹣x﹣与x轴交于A、B两点(点A在点B的左侧),与y...
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(2017•重庆)如图,在平面直角坐标系中,抛物线y=x2﹣x﹣与x轴交于A、B两点(点A在点B的左侧),与y轴交于点C,对称轴与x轴交于点D,点E(4,n)在抛物线上.
(1)求直线AE的解析式;
(2)点P为直线CE下方抛物线上的一点,连接PC,PE.当△PCE的面积最大时,连接CD,CB,点K是线段CB的中点,点M是CP上的一点,点N是CD上的一点,求KM+MN+NK的最小值;
(3)点G是线段CE的中点,将抛物线y=x2﹣x﹣沿x轴正方向平移得到新抛物线y′,y′经过点D,y′的顶点为点F.在新抛物线y′的对称轴上,是否存在点Q,使得△FGQ为等腰三角形?若存在,直接写出点Q的坐标;若不存在,请说明理由.
【回答】
解析:(1)∵y=x2﹣x﹣,
∴y=(x+1)(x﹣3).
∴A(﹣1,0),B(3,0).
当x=4时,y=.
∴E(4,).
设直线AE的解析式为y=kx+b,将点A和点E的坐标代入得:,
解得:k=,b=.
∴直线AE的解析式为y=x+.
(2)设直线CE的解析式为y=mx﹣,将点E的坐标代入得:4m﹣=,解得:m=.
∴直线CE的解析式为y=x﹣.
过点P作PF∥y轴,交CE与点F.
设点P的坐标为(x,x2﹣x﹣),则点F(x,x﹣),
则FP=(x﹣)﹣(x2﹣x﹣)=x2+x.
∴△EPC的面积=×(x2+x)×4=﹣x2+x.
∴当x=2时,△EPC的面积最大.
∴P(2,﹣).
如图2所示:作点K关于CD和CP的对称点G、H,连接G、H交CD和CP与N、M.
∵K是CB的中点,
∴k(,﹣).
∴tan∠KCP=.
∵OD=1,OC=,
∴tan∠OCD=.
∴∠OCD=∠KCP=30°.
∴∠KCD=30°.
∵k是BC的中点,∠OCB=60°,
∴OC=CK.
∴点O与点K关于CD对称.
∴点G与点O重合.
∴点G(0,0).
∵点H与点K关于CP对称,
∴点H的坐标为(,﹣).
∴KM+MN+NK=MH+MN+GN.
当点O、N、M、H在条直线上时,KM+MN+NK有最小值,最小值=GH.
∴GH==3.
∴KM+MN+NK的最小值为3.
(3)如图3所示:
∵y′经过点D,y′的顶点为点F,
∴点F(3,﹣).
∵点G为CE的中点,
∴G(2,).
∴FG==.
∴当FG=FQ时,点Q(3,),Q′(3,).
当GF=GQ时,点F与点Q″关于y=对称,
∴点Q″(3,2).
当QG=QF时,设点Q1的坐标为(3,a).
由两点间的距离公式可知:a+=,解得:a=﹣.
∴点Q1的坐标为(3,﹣).
综上所述,点Q的坐标为(3,)或′(3,)或(3,2)或(3,﹣).
知识点:二次函数与一元二次方程
题型:综合题
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