设为多面体的一个顶点，定义多面体在点处的离散曲率为，其中（，）为多面体的所有与点相邻的顶点，且平面,平面,,平...

问题详情：

设为多面体的一个顶点，定义多面体在点处的离散曲率为，其中（，）为多面体的所有与点相邻的顶点，且平面,平面,,平面和平面遍历多面体的所有以为公共点的面.

（Ⅰ）任取正四面体的一个顶点，该点处的离散曲率为______；  

（Ⅱ）如图所示，已知长方体，，，点为底面内的一个动点，则四棱锥在点处的离散曲率的最小值为______；

（Ⅲ）图中为对某个女孩面部识别过程中的三角剖分结果，所谓三角剖分，就是先在面部取若干采样点，后用短小的直线段连接相邻三个采样点形成三角形网格.区域和区域中点的离散曲率的平均值更大的_______.（填写“区域”或“区域”）

【回答】

【详解】（Ⅰ）由题意，可知正四面体的所有面都是正三角形，所以取正四面体的一个顶点，该点处的离散曲率为；

（Ⅱ）已知长方体，点为底面内的一个动点，则四棱锥在点处的离散曲率为,

又由，，所以,且为正方形，

当时，即点P为正方形的中心时，曲率取得最大值，此时，

即.

（Ⅲ）由（Ⅰ）（Ⅱ）可得，根据女孩面部识别过程中的三角剖分结果，可得区域的曲率的平均值更大一些.

知识点：点 直线 平面之间的位置

题型：解答题