如图1，平面直角坐标系中，直线AB：y=﹣x+b交x轴于点A（8，0），交y轴正半轴于点B．（1）求点B的坐标...

问题详情：

如图1，平面直角坐标系中，直线AB：y=﹣x+b交x轴于点A（8，0），交y轴正半轴于点B．

（1）求点B的坐标；

（2）如图2，直线AC交y轴负半轴于点C，AB=BC，P为线段AB上一点，过点P作y轴的平行线交直线AC于点Q，设点P的横坐标为t，线段PQ的长为d，求d与t之间的函数关系式；

（3）在（2）的条件下，M为CA延长线上一点，且AM=CQ，在直线AC上方的直线AB上是否存在点N，使△QMN是以QM为斜边的等腰直角三角形？若存在，请求出点N的坐标及PN的长度；若不存在，请说明理由．

【回答】

【解答】解：（1）∵y=﹣x+b交x轴于点A（8，0），

∴0=﹣×8+b，b=6，

∴直线AB解析式为y=﹣x+6，

令x=0，y=6，B（0，6）；

（2）∵A（8，0），B（0，6），

∴OA=8，OB=6，

∵∠AOB=90°，

∴AB==10=BC，

∴OC=4，

∴点C（0，﹣4），

设直线AC解析式为y=kx+b’，

∴，

∴

∴直线AC解析式为y=x﹣4，

∵P在直线y=﹣x+6上，

∴可设点P（t，﹣t+6），

∵PQ∥y轴，且点Q在y=x﹣4 上，

∴Q（t， t﹣4），

∴d=（﹣t+6）﹣（t﹣4）=﹣t+10；

（3）过点M作MG⊥PQ于G，

∴∠QGM=90°=∠COA，

∵PQ∥y轴，

∴∠OCA=∠GQM，

∵CQ=AM，

∴AC=QM，

在△OAC与△GMQ中，，[来源:学科网ZXXK]

∴△OAC≌△GMQ，

∴QG=OC=4，GM=OA=8，

过点N作NH⊥PQ于H，过点M作MR⊥NH于点R，

∴∠MGH=∠RHG=∠MRH=90°，

∴四边形GHRM是矩形，

∴HR=GM=8，可设GH=RM=k，

∵△MNQ是等腰直角三角形，

∴∠QMN=90°，NQ=NM，

∴∠HNQ+∠HQN=90°，

∴∠HNQ+∠RNM=90°，

∴∠RNM=∠HQN，

∴△HNQ≌△RMN，

∴HN=RM=k，NR=QH=4+k，

∵HR=HN+NR，

∴k+4+k=8，

∴k=2，

∴GH=NH=RM=2，

∴HQ=6，

∵Q（t， t﹣4），

∴N（t+2， t﹣4+6）即 N（t+2， t+2）

∵N在直线AB：y=﹣x+6上，

∴t+2=﹣（t+2）+6，

∴t=2，

∴P（2，），N（4，3），

∴PH=，NH=2，

∴PN==．

知识点：课题学习 选择方案

题型：解答题