如图,在平面直角坐标系xOy中,O为坐标原点,直线y=－x＋4与x轴交于点A,与y轴交于点B.(Ⅰ)求点A,B...

问题详情：

如图,在平面直角坐标系xOy中,O为坐标原点,直线y=－x＋4与x轴交于点A,与y轴交于点B. (Ⅰ)求点A,B的坐标; (Ⅱ)在直线AB上是否存在点P,使△OAP是以OA为底边的等腰三角形？若存在,求出点P的坐标;若不存在,请说明理由. (Ⅲ)若将Rt△AOB折叠,使OB边落在AB上,点O与点D重合,折痕为BC,求折痕BC所在直线的解析式.

         第1题图

【回答】

解:(Ⅰ)在y=－x＋4中,令x=0可得y=4,令y=0可求得x=4, ∴A(4,0),B(0,4); (Ⅱ)如解图①,作线段OA的垂直平分线,交x轴于点E,交AB于点P, 则OP=PA,即P点即为满足条件的点, ∵OA=4, ∴OE=2, 在y=－x＋4中,当x=2时,可得y=2, ∴P点坐标为(2,2); (Ⅲ)如解图②, 设C(t,0),则AC=OA－OC=4－t, ∵OA=OB=4, ∴AB=4, 由折叠的*质可得BD=OB=4,CD=OC=t,∠ADC=∠BOC=90°, ∴AD=AB－BD=4－4, 在Rt△ACD中,由勾股定理可得AC2=AD2＋CD2,即(4－t)2=t2＋(4－4)2,解得t=4－4, ∴C(4－4,0), 设直线BC解析式为y=kx＋b, ∴,

解得, ∴折痕BC的解析式为y=－(1＋)x＋4.

   图①           图②

       第1题解图                  

知识点：勾股定理

题型：解答题