如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，直线y=﹣x+b与坐标轴交于C，D两点，直线AB与坐标轴交于A，B两...

问题详情：

如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，直线y=﹣x+b与坐标轴交于C，D两点，直线AB与坐标轴交于A，B两点，线段OA，OC的长是方程x2﹣3x+2=0的两个根（OA＞OC）．

（1）求点A，C的坐标；（2）直线AB与直线CD交于点E，若点E是线段AB的中点，反比例函数y=（k≠0）的图象的一个分支经过点E，求k的值；

（3）在（2）的条件下，点M在直线CD上，坐标平面内是否存在点N，使以点B，E，M，N为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出满足条件的点N的坐标；若不存在，请说明理由．

【回答】

解：（1）

x2﹣3x+2=（x﹣1）（x﹣2）=0，

∴x1=1，x2=2，…………………………2分

∵OA＞OC，

∴OA=2，OC=1，

∴A（﹣2，0），C（1，0）．…………………………2分

（2）将C（1，0）代入y=﹣x+b中，

得：0=﹣1+b，解得：b=1，

∴直线CD的解析式为y=﹣x+1．…………………………1分

∵点E为线段AB的中点，A（﹣2，0），B的横坐标为0，

∴点E的横坐标为﹣1．

∵点E为直线CD上一点，

∴E（﹣1，2）．…………………………1分

将点E（﹣1，2）代入y=（k≠0）中，

得：2=，解得：k=﹣2．…………………………1分

  3.假设存在，…………………………1分

（3）设点M的坐标为（m，﹣m+1），

以点B，E，M，N为顶点的四边形是菱形分两种情况（如图所示）：

①以线段BE为边时，∵E（﹣1，2），A（﹣2，0），E为线段AB的中点，

∴B（0，4），

∴BE=AB==．

∵四边形BEMN为菱形，

∴EM==BE=，

解得：m1=，m2=，

∴M（，2+）或（，2﹣），

∵B（0，4），E（﹣1，2），

∴N（﹣，4+）或（，4﹣）；

②以线段BE为对角线时，MB=ME，

∴=，

解得：m3=﹣，

∴M（﹣，），

∵B（0，4），E（﹣1，2），

∴N（0﹣1+，4+2﹣），即（，）．

综上可得：坐标平面内存在点N，使以点B，E，M，N为顶点的四边形是菱形，点N的坐标为（﹣，4+）、（，4﹣）或（，）．

知识点：课题学习 选择方案

题型：解答题