*作与*：如图1，把一个含45°角的直角三角板ECF和一个正方形ABCD摆放在一起，使三角板的直角顶点和正方...

问题详情：

*作与*：如图1，把一个含45°角的直角三角板ECF和一个正方形ABCD摆放在一起，使三角板的直角顶点和正方形的顶点C重合，点E、F分别在正方形的边CB、CD上，连接AF．取AF中点M，EF的中点N，连接MD、MN．

（1）连接AE，求*：△AEF是等腰三角形；

猜想与发现：

（2）在（1）的条件下，请判断MD、MN的数量关系和位置关系，得出结论．

结论1：DM、MN的数量关系是　   　；

结论2：DM、MN的位置关系是　   　；

拓展与探究：

（3）如图2，将图1中的直角三角板ECF绕点C顺时针旋转180°，其他条件不变，则（2）中的两个结论还成立吗？若成立，请加以*；若不成立，请说明理由．

【回答】

【解答】（1）*：∵四边形ABCD是正方形，

∴AB＝AD＝BC＝CD，∠B＝∠ADF＝90°，

∵△CEF是等腰直角三角形，∠C＝90°，

∴CE＝CF，

∴BC﹣CE＝CD﹣CF，

即BE＝DF，

∴△ABE≌△ADF，

∴AE＝AF，

∴△AEF是等腰三角形；

（2）解：相等，垂直；

*：∵在Rt△ADF中DM是斜边AF的中线，

∴AF＝2DM，

∵MN是△AEF的中位线，

∴AE＝2MN，

∵AE＝AF，

∴DM＝MN；

∵∠DMF＝∠DAF+∠ADM，AM＝MD，

∵∠FMN＝∠FAE，∠DAF＝∠BAE，

∴∠ADM＝∠DAF＝∠BAE，

∴∠DMN＝∠BAD＝90°，

∴DM⊥MN；

（3）（2）中的两个结论还成立，

*：连接AE，交MD于点G，

∵点M为AF的中点，点N为EF的中点，

∴MN∥AE，MN＝AE，

由（1）同理可*，

AB＝AD＝BC＝CD，∠B＝∠ADF，CE＝CF，

又∵BC+CE＝CD+CF，即BE＝DF，

∴△ABE≌△ADF，

∴AE＝AF，

在Rt△ADF中，

∵点M为AF的中点，

∴DM＝AF，

∴DM＝MN，

∵△ABE≌△ADF，

∴∠1＝∠2，

∵AB∥DF，

∴∠1＝∠3，

同理可*：∠2＝∠4，

∴∠3＝∠4，

∵DM＝AM，

∴∠MAD＝∠5，

∴∠DGE＝∠5+∠4＝∠MAD+∠3＝90°，

∵MN∥AE，

∴∠DMN＝∠DGE＝90°，

∴DM⊥MN．

【分析】（1）根据正方形的*质以及等腰直角三角形的知识*出CE＝CF，继而*出△ABE≌△ADF，得到AE＝AF，*出△AEF是等腰三角形；

（2）DM、MN的数量关系是相等，位置关系式垂直；

（3）连接AE，交MD于点G，标记出各个角，首先*出MN∥AE，MN＝AE，再有（1）的结论以及角角之间的数量关系得到∠DMN＝∠DGE＝90°．

知识点：特殊的平行四边形

题型：解答题