在平面直角坐标系xoy中,一块含60°角的三角板作如图摆放,斜边AB在x轴上,直角顶点C在y轴正半轴上,已知点...
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在平面直角坐标系xoy中, 一块含60°角的三角板作如图摆放,斜边AB在x轴上,直角顶点C在y轴正半轴上,已知点A(-1,0). 21·cn·jy·com
(1)请直接写出点B、C的坐标:B( , )、C( , );并求经过A、B、C三点的抛物线解析式;
(2)现有与上述三角板完全一样的三角板DEF(其中∠EDF=90°,∠DEF=60°),把顶点E放在线段AB上(点E是不与A、B两点重合的动点),并使ED所在直线经过点C. 此时,EF所在直线与(1)中的抛物线交于第一象限的点M.连接MB和MC,当△OCE∽△OBC时,判断四边形AEMC的形状,并给出*;
(3) 有一动点P在(1)中的抛物线上运动,是否存在点P,以点P为圆心作圆能和直线AC和x轴同时相切 ,若存在,求出圆心P的坐标;若不存在,请说明理由.
【回答】
(1)解:(1)B(3,0),C(0,).
∵A(—1,0)B(3,0),∴可设过A、B、C三点的抛物线为 .
又∵C(0,)在抛物线上,∴,解得.
∴经过A、B、C三点的抛物线解析式
即.
(2)四边形AEMC是菱形.
当△OCE∽△OBC时,则.
∵OC=,∴
∴OE=1.
∴E(1,0)在抛物线对称轴上,∴△CAE为等边三角形,∴∠AEC=∠A=60°.
又∵∠CEM=60°, ∴∠MEB=∠AEC=60°.
∴点C与点M关于抛物线的对称轴对称.
C(0,),∴M(2,).
∴MC=AE=2, MC∥AE
∴四边形AEMC是平行四边形。
∵AC=CM=2
∴四边形AEMC是菱形. 8分
(3)由⊙P与直线AC和x轴同时相切易知点P在两线夹角的平分线上,
①当在x轴上方时,∠PAO=30°,设点P坐标为(x, ),过P作PQ⊥x轴,交点为Q,则AQ=PQ,得x+1= ()
解得,x1=2 ,x2=-1(舍去),所以点P坐标为(2,)…
②当在x轴下方时,∠PAO=60°,设点P坐标为(x, ),过P作PQ⊥x轴,交点为Q,则AQ=PQ,得(x+1)= -()
解得,x1=6 ,x2=-1(舍去),所以点P坐标为(6,-7)
也可以用直线和抛物线联立方程组解决,
综上所述,存在点P满足条件,点P坐标为(2,)或(6,-7)
知识点:二次函数与一元二次方程
题型:综合题
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