如图1,在平面直角坐标系中,O是坐标原点,长方形OACB的顶点A、B分别在x轴与y轴上,已知OA=6,OB=1...
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如图1,在平面直角坐标系中,O是坐标原点,长方形OACB的顶点A、B分别在x轴与y轴上,已知OA=6,OB=10.点D为y轴上一点,其坐标为(0,2),点P从点A出发以每秒2个单位的速度沿线段AC﹣CB的方向运动,当点P与点B重合时停止运动,运动时间为t秒.
(1)当点P经过点C时,求直线DP的函数解析式;
(2)①求△OPD的面积S关于t的函数解析式;
②如图②,把长方形沿着OP折叠,点B的对应点B′恰好落在AC边上,求点P的坐标.
(3)点P在运动过程中是否存在使△BDP为等腰三角形?若存在,请求出点P的坐标;若不存在,请说明理由.
【回答】
解:(1)∵OA=6,OB=10,四边形OACB为长方形,
∴C(6,10).
设此时直线DP解析式为y=kx+b,
把(0,2),C(6,10)分别代入,得
,
解得
则此时直线DP解析式为y=x+2;
(2)①当点P在线段AC上时,OD=2,高为6,S=6;
当点P在线段BC上时,OD=2,高为6+10﹣2t=16﹣2t,S=×2×(16﹣2t)=﹣2t+16;
②设P(m,10),则PB=PB′=m,如图2,
∵OB′=OB=10,OA=6,
∴AB′==8,
∴B′C=10﹣8=2,
∵PC=6﹣m,
∴m2=22+(6﹣m)2,解得m=
则此时点P的坐标是(,10);
(3)存在,理由为:
若△BDP为等腰三角形,分三种情况考虑:如图3,
①当BD=BP1=OB﹣OD=10﹣2=8,
在Rt△BCP1中,BP1=8,BC=6,
根据勾股定理得:CP1==2,
∴AP1=10﹣2,即P1(6,10﹣2);
②当BP2=DP2时,此时P2(6,6);
③当DB=DP3=8时,
在Rt△DEP3中,DE=6,
根据勾股定理得:P3E==2,
∴AP3=AE+EP3=2+2,即P3(6,2+2),
综上,满足题意的P坐标为(6,6)或(6,2+2)或(6,10﹣2).
知识点:勾股定理
题型:综合题
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