如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的两边OA、OC分别在x轴、y轴的正半轴上，OA=4，OC=2．点P从点...

问题详情：

如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的两边OA、OC分别在x轴、y轴的正半轴上，OA=4，OC=2．点P从点O出发，沿x轴以每秒1个单位长的速度向点A匀速运动，当点P到达点A时停止运动，设点P运动的时间是t秒．将线段CP的中点绕点P按顺时针方向旋转90°得点D，点D随点P的运动而运动，连接DP、DA．

（1）请用含t的代数式表示出点D的坐标；

（2）求t为何值时，△DPA的面积最大，最大为多少？

（3）在点P从O向A运动的过程中，△DPA能否成为直角三角形？若能，求t的值．若不能，请说明理由；

（4）请直接写出随着点P的运动，点D运动路线的长．

【回答】

 【解答】解：（1）∵点P从点O出发，沿x轴以每秒1个单位长的速度向点A匀速运动，

∴OP=t，而OC=2，

∴P（t，0），

设CP的中点为F，过D点作DE⊥OA，垂足为E，

则F点的坐标为（，1），

∵F点绕点P按顺时针方向旋转90°得点D，

∴∠CPD=90°，

∴∠DPE+∠OPC=90°，

又∵∠POC=90°，∠OCP+∠OPC=90°，

∴∠OCP=∠EPD，

∴△OCP∽△EPD，

∵PD：CP=1：2，

∴DE：PO=PE：CO=PD：CP=1：2，

∴DE=PO=，PE=CO=1，

∴D点坐标为（t+1，）；

（2）∵D点坐标为（t+1，），OA=4，

∴S△DPA=AP×=（4﹣t）×=（4t﹣t2）=﹣（t﹣2）2+1，

∴当t=2时，S最大=1；

（3）能构成直角三角形．

①当∠PDA=90°时，PC∥AD，

由勾股定理得，PD2+AD2=AP2，PD2=DE2+PE2，AD2=DE2+AE2，

即（）2+1+（4﹣t﹣1）2+（）2=（4﹣t）2，

解得，t=2或t=﹣6（舍去）．

∴t=2秒．

②当∠PAD=90°时，此时点D在AB上，

可知，△COP∽△PAD，

∴==，

∴2=，

PA=1，

即t+1=4，t=3秒．

综上，可知当t为2秒或3秒时，△DPA能成为直角三角形．

（4）当点P在原点O处时，即t=0，对应的D0点为（1，0），

当点D运动时，直线DD0的斜率k==，即无论点D如何运动，直线DD0的斜率为固定值，

即点D的运动轨迹时始终在直线DD0上；

∵kOB==，

∴点D的运动路线与OB平行，

当P运动到点A时，t=4，此时D4点坐标为（5，2），

即点D的运动轨迹为线段D0D4

∵点D4与点B、C共线，

∴BD4∥x轴

易得四边形OD0D4B为平行四边形，

∵根据点D的运动路线与OB平行且相等，OB=2，

∴点D运动路线的长为2．

知识点：相似三角形

题型：综合题