如图,在平面直角坐标系中,四边形OABC的边OC在x轴上,OA在y轴上.O为坐标原点,AB//OC,线段OA,...
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问题详情:
如图,在平面直角坐标系中,四边形OABC的边OC在x轴上,OA在y轴上.O为坐标原点,AB//OC,线段OA,AB的长分别是方程x2-9x+20=0的两个根(OA<AB), tan∠OCB=.
(1)求点B,C的坐标;
(2)P为OA上一点,Q为OC上一点,OQ=5,将∆POQ翻折,使点O落在AB上的点处,双曲线的一个分支过点.求k的值;
(3)在(2)的条件下,M为坐标轴上一点,在平面内是否存在点N,使以,Q,M,N为顶点四边形为矩形?若存在,请直接写出点N的坐标;若不存在,请说明理由.
【回答】
(1)点B的坐标为(5,4),点C的坐标为(8,0);(2)k=8 ;(3)存在.,,,.
【解析】
(1)解一元二次方程得到OA=4, AB=5,过点B作BD⊥OC于点D,求出OD、OC的长即可求解;
(2)根据翻折的*质即可求解;
(3)分类讨论,以,Q为边时和以,Q为对角线时,在前两问的基础上先确定点M的坐标,进而确定点N的坐标.
【详解】
(1)解方程:x2-9x+20=0,得x1=4, x2=5,
∵OA<AB,
∴OA=4, AB=5,
过点B作BD⊥OC于点D,
∵tan∠OCB=,BD=OA=4,OD=AB=5,
∴CD=3,
∴OC=8,
∴点B的坐标为(5,4),点C的坐标为(8,0);
(2)∵AB//OC, OQ=AB=5,∠AOQ=90º,
∴四边形AOQB为矩形,
∴BQ=OA=4,由翻折,得OQ==5,
∴=3,
∴A=2,
∴(2, 4),
∴;
(3)存在.
①以,Q为边时,点M的坐标为或或,当点M的坐标为时,点N的坐标为;当点M的坐标为时,点N的坐标为;当点M的坐标为时,点N的坐标为;
②以,Q为对角线时,点M的坐标为,此时点N的坐标为,
综上所述,点N的坐标为:,,,.
【点睛】
本题考查的是矩形的判定、解一元二次方程、求反比例函数的解析式等内容,熟练掌握矩形的判定与*质是解题的关键.
知识点:特殊的平行四边形
题型:解答题
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