在平面直角坐标系中，等腰直角的直角顶点C在y轴上，另两个顶点A，B在x轴上，且，抛物线经过A，B，C三点，如图...

问题详情：

在平面直角坐标系中，等腰直角的直角顶点C在y轴上，另两个顶点A，B在x轴上，且，抛物线经过A，B，C三点，如图1所示．

（1）求抛物线所表示的二次函数表达式．

（2）过原点任作直线l交抛物线于M，N两点，如图2所示．

①求面积的最小值．

②已知是抛物线上一定点，问抛物线上是否存在点P，使得点P与点Q关于直线l对称，若存在，求出点P的坐标及直线l的一次函数表达式；若不存在，请说明理由．

【回答】

（1）；（2）①4；②点，或点，

【解析】

（1）设抛物线的解析式为，根据等腰直角三角形的*质得到三点的坐标，代入解析式即可得到*；

（2）①设直线l的解析式为，交点，，联立一次函数与二次函数的解析式，利用一元二次方程根与系数的关系得到，利用面积与的函数，得到面积的最小值；②假设抛物线上存在点，使得点P与点Q关于直线l对称，利用对称得：列方程求解再求点P的坐标及直线l的一次函数表达式即可．

【详解】

解：（1）设抛物线的解析式为，

在等腰中，垂直平分，且，

∴．

∴   

，

解得：

∴抛物线的解析式为

（2）①设直线l的解析式为，交点，

由，

可得，

∴，．

∴，

∴．

∴．

∴当时，取最小值4．

∴的最小值是4．

②假设抛物线上存在点，使得点P与点Q关于直线l对称，

∴，即

解得：，，，

∵，，（不合题意，舍去．）

当时，点，线段的中点为．

∴，

 ．

∴直线l的表达式为：．

当时，点，线段的中点为．

∴，

 ．

∴直线l的表达式为：

综上：点，或点，．

【点睛】

本题考查的是利用待定系数法求解二次函数的解析式，一次函数的解析式，二次函数与一次函数的交点问题，一元二次方程根与系数的关系，轴对称的*质，利用因式分解的方法解方程，掌握以上知识是解题的关键．

知识点：二次函数与一元二次方程

题型：解答题