在平面直角坐标系中,已知抛物线(为常数)的顶点为,等腰直角三角形的定点的坐标为,的坐标为,直角顶点在第四象限....
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在平面直角坐标系中,已知抛物线(为常数)的顶点为,等腰直角三角形的定点的坐标为,的坐标为,直角顶点在第四象限.
(1)如图,若该抛物线过 ,两点,求该抛物线的函数表达式;(3分)
(2)平移(1)中的抛物线,使顶点在直线上滑动,且与交于另一点.
i)若点在直线下方,且为平移前(1)中抛物线上的点,当以
三点为顶点的三角形是等腰直角三角形时,求所有符合条件的点的坐标;(4分)
ii)取的中点,连接.试探究是否存在最大值?若存在,求出该最大值;若不存在,请说明理由. (2分)
【回答】
解(1)A(0,-1) C(4,3)
则|AC|=
ABC为等腰直角三角形 ∴AB=BC=4
∴B点(4,-1)将A,B代入抛物线方程有
⇒
∴…………………………………..3
(2)当顶点P在直线AC上滑动时,平移后抛物线与AC另一交点Q就是A点沿直线AC滑动同样的单位。
原抛物线
∴顶点P为(2,1)
设平移后顶点P为(a,a-1),
则平移后抛物线
联立y=x-1(直线AC方程) 得Q点为(a-2,a-3)∴|PQ|=
即实际上是线段AP在直线AC上的滑动.
ⅰ)点M在直线AC下方,且M,P,Q构成等腰直角三角形,
那么先考虑使MP,Q构成等腰直角三角形的M点的轨迹,
再求其轨迹与抛物线的交点以确定M点.
① 若∠M为直角,
则M点轨迹即为AC下方距AC为MH且与AC平行的直线l
又知|PQ|= ,则|MH|= |PM|=2
直线l即为AC向下平移|PM|=2个单位 L:y=x-3 联立
得x=1± M点为(1+,-2)或(1-,--2)…………………………5
② 若∠P=或∠Q为直角,即PQ为直角边,MQ⊥PQ且,MQ=PQ=
或MP⊥PQ,且MP=PQ=,∴M点轨迹是AC下方距AC为且与AC平行直线L
直线L即为AC向下平移|MP|=4个单位L:y=x-5联立
得x=4或x=-2∴M点为(4,-1)或(-2,-7)
综上所有符合条件的点M为(1+,-2)(4,-1);
(1-,--2),(-2,-7)…………………7
ⅱ)(特别说明:解答中的M都应该换成F)
知PQ= 有最大值,即NP+BQ有最小值
如下图,取AB中点F,连结QF,NF,知N为中点∴FN为AC边中位线,∴FN∥AC且FN=AC==PQ∴ ∴FNPQ为平行四边形
即PN=QF ∴QB+PN=BQ+FQ 此时,作B点关于AC对称的点B′,连,
交AC于点H,易知=BQ
∴BQ+PN=+FQ≥(三角形两边之和大于第三边)仅当Q与H重合时,取等号
即BQ+PN最小值存在 且最小值为连结知为等腰直角三角形。
=4,AF=AB=2 ∴由勾股定理得
∴最大值存在,且最大值为 ………………9
知识点:二次函数与一元二次方程
题型:综合题
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