如图，在平面直角坐标系xOy中，A、B为x轴上两点，C、D为y轴上的两点，经过点A、C、B的抛物线的一部分c1...

问题详情：

如图，在平面直角坐标系xOy中，A、B为x轴上两点，C、D为y轴上的两点，经过点A、C、B的抛物线的一部分c1与经过点A、D、B的抛物线的一部分c2组合成一条封闭曲线，我们把这条封闭曲线成为“蛋线”．已知点C的坐标为（0，），点M是抛物线C2：y=mx2﹣2mx﹣3m（m＜0）的顶点．

（1）求A、B两点的坐标；

（2）“蛋线”在第四象限上是否存在一点P，使得△PBC的面积最大？若存在，求出△PBC面积的最大值；若不存在，请说明理由；

（3）当△BDM为直角三角形时，求m的值．

【回答】

解：（1）y=mx2﹣2mx﹣3m，

=m（x﹣3）（x+1），

∵m≠0，

∴当y=0时，x1=﹣1，x2=3，

∴A（﹣1，0），B（3，0）；

（2）设C1：y=ax2+bx+c，将A，B，C三点坐标代入得：

，

解得：，

故C1：y=x2﹣x﹣；

如图，过点P作PQ∥y轴，交BC于Q，

由B、C的坐标可得直线BC的解析式为y=x﹣，

设p（x， x2﹣x﹣），则Q（x， x﹣），PQ=x﹣﹣（x2﹣x﹣）=﹣x2+x，

S△PBC=S△PCQ+S△PBQ=PQ•OB=×3×（﹣x2+x）=﹣+x=﹣（x﹣）2+，

当x=时，Smax=，

∴P（）

（3）y=mx2﹣2mx﹣3m=m（x﹣1）2﹣4m，

顶点M坐标（1，﹣4m），

当x=0时，y=﹣3m，

∴D（0，﹣3m），B（3，0），

∴DM2=（0﹣1）2+（﹣3m+4m）2=m2+1，

MB2=（3﹣1）2+（0+4m）2=16m2+4，

BD2=（3﹣0）2+（0+3m）2=9m2+9，

当△BDM为直角三角形时，分两种情况：

①当∠BDM=90°时，有DM2+BD2=MB2，

解得m1=﹣1，m2=1（∵m＜0，∴m=1舍去）；

②当∠BMD=90°时，有DM2+MB2=BD2，

解得m1=﹣，m2=（舍去），

综上，m=﹣1或﹣时，△BDM为直角三角形．

知识点：二次函数与一元二次方程

题型：综合题