如图1,平面直角坐标系xOy中,已知抛物线y=ax2+4x与x轴交于O、A两点.直线y=kx+m经过抛物线的顶...
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如图1,平面直角坐标系xOy中,已知抛物线y=ax2+4x与x轴交于O、A两点.直线y=kx+m经过抛物线的顶点B及另一点D(D与A不重合),交y轴于点C.
(1)当OA=4,OC=3时.
①分别求该抛物线与直线BC相应的函数表达式;
②连结AC,分别求出tan∠CAO、tan∠BAC的值,并说明∠CAO与∠BAC的大小关系;
(2)如图2,过点D作DE⊥x轴于点E,连接CE.当a为任意负数时,试探究AB与CE的位置关系?
【回答】
(1)①根据题意得出A、C的坐标,由A的坐标可求出抛物线解析式及其顶点B坐标,根据B、C坐标可得直线解析式;
②tan∠CAO==,先根据勾股定理逆定理判定△ABC是直角三角形,再根据tan∠BAC=可得*;
(2)根据y=ax2+4x求得A(﹣,0)、B(﹣,﹣),先求得tan∠BAO=2,再将B(﹣,﹣)代入y=kx+m得m=,据此知点C(0,),由可求得E(,0),根据tan∠CEO==2知∠BAO=∠CEO,从而得出*.
解:(1)①∵OA=4,OC=3,∴A(4,0),C(0,3),
将A(4,0)代入y=ax2+4x,得:16a+16=0,解得a=﹣1,
则y=﹣x2+4x=﹣(x﹣2)2+4,∴B(2,4),
将B(2,4),C(0,3)代入y=kx+m,得:,解得,∴y=x+3;
②tan∠CAO==,
∵AC2=(0﹣4)2+(3﹣0)2=25,BC2=(2﹣0)2+(4﹣3)2=5,AB2=(2﹣4)2+(4﹣0)2=20,∴AC2=BC2+AB2,且BC=,AB=2,
∴△ABC是直角三角形,其中∠ABC=90°,则tan∠BAC===,
∵tan∠CAO>tan∠BAC,∴∠CAO>∠BAC.
(2)AB∥CE,理由如下:
由y=ax2+4x=0得x1=0,x2=﹣,则A(﹣,0),
又y=ax2+4x=a(x+)2﹣,
∴顶点B的坐标为(﹣,﹣),则tan∠BAO==2,
将B(﹣,﹣)代入y=kx+m,得:﹣ +m=﹣,解得m=,
∴点C(0,),即OC=,
由得x=﹣或x=,
∴E(,0),∴OE=,
∴tan∠CEO===2,
∴tan∠BAO=tan∠CEO,
∴∠BAO=∠CEO,
∴AB∥CE.
知识点:二次函数与一元二次方程
题型:综合题
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