在△ABC的边BC上取B′、C′两点，使∠AB′B＝∠AC′C＝∠BAC．（1）如图1中∠BAC为直角，∠BA...

问题详情：

在△ABC的边BC上取B′、C′两点，使∠AB′B＝∠AC′C＝∠BAC．

（1）如图1中∠BAC为直角，∠BAC＝∠AB′B＝∠AC′C＝90°（点B′与点C′重合），则△ABC∽△B'BA∽△C'AC，，，进而可得AB2+AC2＝     ；

（2）如图2中当∠BAC为锐角，图3中∠BAC为钝角时（1）中的结论还成立吗？若不成立，则AB2+AC2等于什么（用含用BC和B′C′的式子表示）？并说明理由．

（3）若在△ABC中，AB＝5，AC＝6，BC＝9，请你先判断出△ABC的类型，再求出B′C′的长．

【回答】

解：（1）如图1中，

∵△ABC∽△B'BA∽△C'AC，

∴＝，＝，

∴AB2＝BB′×BC，AC2＝CC′×BC，

∴AB2+AC2＝BC（BB′+CC′）＝BC×BC＝BC2，

故*为BC2．

（2）不成立．

理由：如图2中当∠BAC为锐角时，BB′+CC′﹣B′C′＝BC，且△ABC∽△B'BA∽△C'AC，

∴∴＝，＝，

∴AB2＝BB′×BC，AC2＝CC′×BC，

∴AB2+AC2＝BC（BB′+CC′）＝BC2+BC•B′C′．

图3中∠BAC为钝角时，BB′+CC′+B′C′＝BC．

AB2+AC2＝BC（BB′+CC′）＝BC2﹣BC•B′C′．

（3）当AB＝5，AC＝6，BC＝9时，则AB2+AC2＜BC2，可知△ABC为钝角三角形，

由图3可知：AB2+AC2＝BC2﹣BC•B′C′，

∴52+62＝92﹣9B′C′，

∴B′C′＝．

知识点：相似三角形

题型：解答题