如图,△BCD是等边三角形AB=AD,∠BAD=90°,将△BCD沿BD折叠到△BC′D的位置,使得AD⊥C′...
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如图,△BCD是等边三角形AB=AD,∠BAD=90°,将△BCD沿BD折叠到△BC′D的位置,使得AD⊥C′B.
(1)求*:AD⊥AC′;
(2)若M,N分别是BD,C′B的中点,求二面角N-AM-B的余弦值.
【回答】
(1)∵∠BAD=90°,∴AD⊥AB,
又∵C′B⊥AD,且AB∩C′B=B,
∴AD⊥平面C′AB,
∵AC′⊂平面C′AB,
∴AD⊥AC′;
(2)∵△BCD是等边三角形,AB=AD,∠BAD=90°,
不妨设AB=1,则BC=CD=BD=,
以点A为坐标原点,分别以AB,AD,AC′所在直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系Axyz,
则A(0,0,0),B(1,0,0),D(0,1,0),C′(0,0,1),
∵点M、N分别为BD,C′B的中点,∴M,N,
∴=,=,
设平面AMN的一个法向量为m=(x,y,z),
则即
令x=1,则y=z=-1,∴m=(1,-1,-1),
平面ABM的一个法向量为n=(0,0,1),
∴cos〈m,n〉===-,
∴二面角N-AM-B的余弦值为.
知识点:点 直线 平面之间的位置
题型:解答题
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