已知在平面直角坐标系xOy中,直线l别交x轴和y轴于点A(-3,0),B(0,3).(1)如图1,已知⊙P经过...
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已知在平面直角坐标系xOy中,直线l别交x轴和y轴于点A(-3,0),B(0,3).
(1)如图1,已知⊙P经过点O,且与直线l1相切于点B,求⊙P的直径长;
(2)如图2,已知直线l2:y=3x-别交x轴和y轴于点C和点D,点Q是直线l2上的一个动点,以Q为圆心,2为半径画圆.
①当点Q与点C重合时,求*:直线l1与⊙Q相切;
②设⊙Q与直线l1相交于M,N两点,连结QM,QN.问:是否存在这样的点Q,使得△QMN是等腰直角三角形,若存在,求出点Q的坐标;若不存在,请说明理由.
【回答】
(1);(2)①见解析;②(,)或(,).
【解析】
(1)*△ABC为等腰直角三角形,则⊙P的直径长=BC=AB,即可求解;
(2)*圆的半径,即可求解;
(3)分点M、N在两条直线交点的下方、点M、N在两条直线交点的上方两种情况,分别求解即可.
【详解】
解:(1)如图1,连接BC,
∵∠BOC=90°,∴点P在BC上,
∵⊙P与直线l1相切于点B,
∴∠ABC=90°,而OA=OB,
∴△ABC为等腰直角三角形,
则⊙P的直径长=BC=AB=;
(2)①过点作CM⊥AB,
由直线l2:y=3x-3得:点C(1,0),
则圆的半径,
故点M是圆与直线l1的切点,
即:直线l1与⊙Q相切;
②如图3,
当点M、N在两条直线交点的下方时,
由题意得:MQ=NQ,∠MQN=90°,
设点Q的坐标为(m,3m-3),则点N(m,m+3),
则,
解得:;
当点M、N在两条直线交点的上方时,
同理可得:;
故点Q的坐标为(,)或(,).
【点睛】
本题为圆的综合运用题,涉及到一次函数、圆的切线*质等知识点,关键要确定圆的位置,分类求解,避免遗漏.
知识点:点和圆、直线和圆的位置关系
题型:解答题
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