已知四棱锥PABCD如图所示,AB∥CD,BC⊥CD,AB=BC=2,CD=PD=1,△PAB为等边三角形.(...
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已知四棱锥PABCD如图所示,AB∥CD,BC⊥CD,AB=BC=2,CD=PD=1,△PAB为等边三角形.
(1)*:PD⊥平面PAB;
(2)求二面角P﹣CB﹣A的余弦值.
【回答】
(1)*:取AB得中点E,连接PE,DE.
∵AB=BC=2,CD=PD=1,△PAB为等边三角形
∴AE⊥AB,AE=,BE=CD,EB∥CD
∴四边形BCDE是平行四边形,∴DE=CB=2,DE∥CD
∴AB⊥ED,∴AB⊥面PED⇒AB⊥PD
DE2=PD2+AE2,∴PD⊥AE,
∴PD⊥面PAB
(2)解:由(1)得面PAD⊥面ABCD,
过P作PO⊥ED于O,则PO⊥面ABCD,
过O作OH⊥CB于H,连接PH,则∠PHO为二面角P﹣CB﹣A的平面角.
在Rt△PED中,PO•ED=PE•PD,可得PO=
在Rt△PED中,OH=1,PH=,=
∴二面角P﹣CB﹣A的余弦值为
知识点:点 直线 平面之间的位置
题型:解答题
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