一质量为、长为的匀质细杆，可绕过其一端的光滑水平轴在竖直平面内自由转动. 杆在水平状态由静止开始下摆，（1）令...

问题详情：

一质量为、长为的匀质细杆，可绕过其一端的光滑水平轴在竖直平面内自由转动.  杆在水平状态由静止开始下摆，

（1）令表示细杆质量线密度.  当杆以角速度绕过其一端的光滑水平轴在竖直平面内转动时，其转动动能可表示为

式中，为待定的没有单位的纯常数.  已知在同一单位制下，两物理量当且仅当其数值和单位都相等时才相等. 由此求出、和的值.

（2）已知系统的动能等于系统的质量全部集中在质心时随质心一起运动的动能和系统在质心系（随质心平动的参考系）中的动能之和，求常数的值。

（3）试求当杆摆至与水平方向成角时在杆上距点为处的横截面两侧部分的相互作用力. 重力加速度大小为。

提示：如果是的函数，而是的函数，则对的导数为

例如，函数对自变量的导数为

【回答】

（1）；（2）；（3），。

【详解】

（1）当杆以角速度绕过其一端的光滑水平轴在竖直平面内转动时，其动能是*变量、和的函数，按题意 可表示为

①

式中，为待定常数（单位为1）. 令长度、质量和时间的单位分别为、和（它们可视为相互*的基本单位），则、、和的单位分别为

②

在一般情形下，若表示物理量的单位，则物理量可写为

③

式中，表示物理量在取单位时的数值，这样①式可写为

④

在由②表示的同一单位制下，上式即

⑤

⑥

将②中第四 式代入⑥式得

⑦)

(2)式并未规定基本单位、和的绝对大小，因而(7)式对于任意大小的、和均成立，于是

⑧

所以

⑨

（2）由题意，杆的动能为

⑩

其中

(11)

注意到，杆在质心系中的运动可视为两根长度为的杆过其公共端（即质心）的光滑水平轴在铅直平面内转动，因而，杆在质心系中的动能为

(12)

将⑩、 (11)、 (12)式代入⑩式得

(13)

由此解得(14)

于是(15)

（3）以细杆与地球为系统，下摆过程中机械能守恒

(16)

由(15)、(16)式得 (17)

以在杆上距点为处的横截面外侧长为的那一段为研究对象，该段质量为，其质心速度为

(18)

设另一段对该段的切向力为(以增大的方向为正方向)， 法向(即与截面相垂直的方向)力为(以指向点方向为正向)，由质心运动定理得

(19)

(20)

式中，为质心的切向加速度的大小

(21)

而为质心的法向加速度的大小

(22)

由(19)、(20)、(21)、(22)式解得

(23)

(24)

知识点：机械能守恒定律单元测试

题型：解答题