如图,三棱锥中,平面,,.分别为线段上的点,且. (1)*:平面;(2...
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如图,三棱锥中,平面,,.分别为线段上的点,且.
(1)*:平面;
(2)求二面角的余弦值.
【回答】
解析:(1)*:由PC平面ABC,DE平面ABC,故PCDE
由CE=2,CD=DE=得CDE为等腰直角三角形,故CDDE
由PCCD=C,DE垂直于平面PCD内两条相交直线,故DE平面PCD (4分)
(2)解:由(1)知,CDE为等腰直角三角形,DCE=,如(19)图,过点D作DF垂直CE于F,易知DF=FC=EF=1,又已知EB=1,
故FB=2.
由ACB=得DFAC,,故AC=DF=.
以C为坐标原点,分别以的方程为x轴,y轴,z轴的正方向建立空间直角坐标系,则C(0,0,0,),P(0,0,3),A(,0,0),E(0,2,0),D(1,1,0),
设平面的法向量,
由,,
得.
由(1)可知DE平面PCD,故平面PCD的法向量可取为,即.从而法向量,的夹角的余弦值为,(11分)
故所求二面角A-PD-C的余弦值为.(12分)
知识点:点 直线 平面之间的位置
题型:解答题
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