已知三棱锥(如图1)的平面展开图(如图2)中,四边形为边长为的正方形,△ABE和△BCF均为正三角形,在...
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问题详情:
已知三棱锥(如图1)的平面展开图(如图2)中,四边形为边长为的正方形,△ABE和△BCF均为正三角形,在三棱锥中:
(I)*:平面平面;
(Ⅱ)求二面角的余弦值;
(Ⅲ)若点在棱上,满足,,点在棱上,且,
求的取值范围.
【回答】
(Ⅰ)方法1:
设的中点为,连接,. 由题意
,,
因为 在中,,为的中点
所以 ,
因为 在中,,,
所以
因为 ,平面
所以 平面
因为 平面····················· 4分
所以 平面平面
方法2:
设的中点为,连接,.
因为 在中,,为的中点
所以 ,
因为 ,,
所以 ≌≌
所以
所以
因为 ,平面
所以 平面
因为 平面····················· 4分
所以 平面平面
方法3:
设的中点为,连接,因为在中,,
所以
设的中点, 连接,及.
因为 在中,,为的中点
所以 .
因为 在中,,为的中点
所以 .
因为 ,平面
所以 平面
因为 平面
所以
因为 ,平面
所以 平面
因为 平面····················· 4分
所以 平面平面
(Ⅱ)由平面,,如图建立空间直角坐标系,则
,,,,
由平面,故平面的法向量为
由,
设平面的法向量为,则
由得:
令,得,,即
由二面角是锐二面角,
所以二面角的余弦值为·············· 9分
(Ⅲ)设,,则
令
得
即,μ是关于λ的单调递增函数,
当时,,
所以························ 14分
知识点:空间中的向量与立体几何
题型:解答题
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