请阅读下列材料：小明遇到这样一个问题：如图1，在边长为a(a＞2)的正方形ABCD各边上分别截取AE=BF=C...

问题详情：

请阅读下列材料：

小明遇到这样一个问题：如图1，在边长为a(a＞2)的正方形ABCD各边上分别截取AE=BF=CG=DH=1，当∠AFQ=∠BGM=∠GHN=∠DEP=45°时，求正方形MNPQ的面积．

小明发现，分别延长QE，MF，NG，PH交FA，GB，HC，ED的延长线于点R，S，T，W，可得△RQF，△SMG，△TNH，△WPE是四个全等的等腰直角三角形(如图2) ．

请回答：

(1)若将上述四个等腰直角三角形拼成一个新的正方形(无缝隙不重叠)，则这个新正方形的边长为        ；

(2)求正方形MNPQ的面积．

(3)参考小明思考问题的方法，解决问题：

如图3，在等边△ABC各边上分别截取AD=BE=CF，再分别过点D，E，F作BC，AC，AB的垂线，得到等边△RPQ．若S△RPQ=，求AD的长．

【回答】

解：(1)四个等腰直角三角形的斜边长为a，则斜边上的高为a， 每个等腰直角三角形的面积为：a•a=a2， 则拼成的新正方形面积为：4×a2=a2，即与原正方形ABCD面积相等 ∴这个新正方形的边长为a．

(2)∵四个等腰直角三角形的面积和为a2，正方形ABCD的面积为a2， ∴S正方形MNPQ=S△ARE+S△DWH+S△GCT+S△SBF=4S△ARE=4××12=2．

(3)如答图1所示，分别延长RD，QF，PE交FA，EC，DB的延长线于点S，T，W． 由题意易得：△RSF，△QEF，△PDW均为底角是30°的等腰三角形，其底边长均等于△ABC的边长． 不妨设等边三角形边长为a，则SF=AC=a． 如答图2所示，过点R作RM⊥SF于点M，则MF=SF=a， 在Rt△RMF中，RM=MF•tan30°=a×=a， ∴S△RSF=a•a=a2． 过点A作AN⊥SD于点N，设AD=AS=x， 则AN=AR•sin30°=x，SD=2ND=2ARcos30°=x， ∴S△ADS=SD•AN=•x•x=x2．

∵三个等腰三角形△RSF，△QEF，△PDW的面积和=3S△RSF=3×a2=a2，正△ABC的面积为a2， ∴S△RPQ=S△ADS+S△CFT+S△BEW=3S△ADS， ∴=3×x2，得x2=，解得x=或x=－(不合题意，舍去) ∴x=，即AD的长为．

知识点：解直角三角形与其应用

题型：解答题