如图,在平面直角坐标系中,抛物线y=ax2+bx+c交x轴于A、B两点(A在B的左侧),且OA=3,OB=1...
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如图,在平面直角坐标系中,抛物线y=ax2+bx+c交x轴于A、B两点(A在B的左侧),且OA=3,OB=1,与y轴交于C(0,3),抛物线的顶点坐标为D(﹣1,4).
(1)求A、B两点的坐标;
(2)求抛物线的解析式;
(3)过点D作直线DE∥y轴,交x轴于点E,点P是抛物线上B、D两点间的一个动点(点P不与B、D两点重合),PA、PB与直线DE分别交于点F、G,当点P运动时,EF+EG是否为定值?若是,试求出该定值;若不是,请说明理由.
【回答】
(1)由抛物线y=ax2+bx+c交x轴于A、B两点(A在B的左侧),且OA=3,OB=1,得
A点坐标(﹣3,0),B点坐标(1,0);
(2)设抛物线的解析式为y=a(x+3)(x﹣1),
把C点坐标代入函数解析式,得
a(0+3)(0﹣1)=3,
解得a=﹣1,
抛物线的解析式为y=﹣(x+3)(x﹣1)=﹣x2﹣2x+3;
(3)EF+EG=8(或EF+EG是定值),理由如下:
过点P作PQ∥y轴交x轴于Q,如图,
设P(t,﹣t2﹣2t+3),
则PQ=﹣t2﹣2t+3,AQ=3+t,QB=1﹣t,
∵PQ∥EF,
∴△AEF∽△AQP,
∴,
∴EF==;
又∵PQ∥EG,
∴△BEG∽△BQP,
∴,
∴EG===2(t+3),
∴EF+EG=2(1﹣t)+2(t+3)=8.
知识点:各地中考
题型:综合题
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