如图，已知抛物线y=﹣（x+2）（x﹣m）（m＞0）与x轴相交于点A、B，与y轴相交于点C，且点A在点B的左侧...

问题详情：

如图，已知抛物线y=﹣（x+2）（x﹣m）（m＞0）与x轴相交于点A、B，与y轴相交于点C，且点A在点B的左侧．

（1）若抛物线过点G（2，2），求实数m的值；

（2）在（1）的条件下，解答下列问题：

①求出△ABC的面积；

②在抛物线的对称轴上找一点H，使AH+CH最小，并求出点H的坐标；

（3）在第四象限内，抛物线上是否存在点M，使得以点A、B、M为顶点的三角形与△ACB相似？若存在，求m的值；若不存在，请说明理由．

【回答】

【考点】二次函数综合题．

【分析】（1）把点G的坐标代入抛物线的解析式中可求得m的值；

（2）①根据（1）中的m值写出抛物线的解析式，分别求抛物线与x轴和y轴的交点坐标，根据坐标特点写出AB和OC的长，利用三角形面积公式求△ABC的面积；

②由对称*可知：x=1，点A和B关于抛物线的对称轴对称，所以由轴对称的最短路径可知：连接BC与对称轴的交点即为点H，依据待定系数法可求得直线BC的解析式，将x=1代入得：y=，则点H的坐标为（1，）；

（3）在第四象限内，抛物线上存在点M，使得以点A、B、M为顶点的三角形与△ACB相似，根据∠ACB与∠ABM为钝角，分两种情况考虑：①当△ACB∽△ABM时；②当△ACB∽△MBA时，利用相似三角形的判定与*质，确定出m的值即可．

【解答】解：（1）把点G（2，2）代入抛物线y=﹣（x+2）（x﹣m）中得：

2=﹣（2+2）（2﹣m），

m=4；

（2）①由（1）得抛物线的解析式为：y=﹣（x+2）（x﹣4），

当x=0时，y=﹣（0+2）（0﹣4）=2，

∴C（0，2），

∴OC=2，

当y=0时，﹣（x+2）（x﹣4）=0，

x=﹣2或4，

∴A（﹣2，0），B（4，0），

∴AB=2+4=6，

∴S△ABC=AB•OC=×6×2=6；

则△ABC的面积是6；

②∵A（﹣2，0），B（4，0），

由对称*得：抛物线的对称轴为：x=1，

∵点A和B关于抛物线的对称轴对称，

∴连接BC与对称轴的交点即为点H，

此时AH+CH为最小，

设直线BC的解析式为：y=kx+b，

把B（4，0），C（0，2）代入得：，

解得：，

∴直线BC的解析式为：y=﹣x+2，

当x=1时，y=，

∴H（1，）；

（3）存在符合条件的点M，

由图形可知：∠ACB与∠ABM为钝角，

分两种情况考虑：

①当△ACB∽△ABM时，则有，即AB2=AC•AM，

∵A（﹣2，0），C（0，2），即OA=OC=2，

∴∠CAB=45°，∠BAM=45°，

如图2，过M作MN⊥x轴于N，则AN=MN，

∴OA+ON=2+ON=MN，

设M（x，﹣x﹣2）（x＞0），

把M坐标代入抛物线解析式得：﹣x﹣2=﹣（x+2）（x﹣m），

∵x＞0，

∴x+2＞0，

∵m＞0，

∴x=2m，即M（2m，﹣2m﹣2），

∴AM==2（m+1），

∵AB2=AC•AM，AC=2，AB=m+2，

∴（m+2）2=2 •2（m+1），

解得：m=2±2，

∵m＞0，

∴m=2+2；

②当△ACB∽△MBA时，则，即AB2=CB•MA，

∵∠CBA=∠BAM，∠ANM=∠BOC=90°，

∴△ANM∽△BOC，

∴，

∵OB=m，设ON=x，

∴=，即MN=（x+2），

令M[x，﹣（x+2）]（x＞0），

把M坐标代入抛物线解析式得：﹣（x+2）=﹣（x+2）（x﹣m），

同理解得：x=m+2，即M[m+2，﹣（m+4）]，

∵AB2=CB•MA，CB=，AN=m+4，MN=（m+4），

∴（m+2）2=•，

整理得： =0，显然不成立，

综上，在第四象限内，当m=2 +2时，抛物线上存在点M，使得以点A、B、M为顶点的三角形与△ACB相似．

【点评】本题是二次函数综合题，主要考查的是轴对称路径最短问题、待定系数法确定函数解析式、坐标与图形*质、相似三角形的判定与*质、勾股定理等知识，熟练掌握相似三角形的判定与*质是解本题的关键．

知识点：二次函数与一元二次方程

题型：综合题