已知椭圆＋＝1，左顶点为A，右准线与x轴的交点为B，点P为椭圆右准线上且在第一象限内的点，直线AP交椭圆于点Q...

问题详情：

已知椭圆＋＝1，左顶点为A，右准线与x轴的交点为B，点P为椭圆右准线上且在第一象限内的点，直线AP交椭圆于点Q，连接BQ．

（1）当＝2时，求*：直线BQ与椭圆只有一个公共点；

（2）过点P与直线BQ垂直的直线l在y轴上的截距为t，当t最大时，求直线AP的方程．

【回答】

（1）由题意知，右准线方程为x＝4．

设P(4，m)，因为＝2，即Q为AP中点，因为A(—2，0)，所以点Q(1，)，代入椭圆方程得＋()2＝1，解得m＝±3（负值舍去），所以Q(1，)．

又B(4，0)，所以直线BQ方程为y＝－(x－4)，联立直线与椭圆方程得消去y，得x2－2x＋1＝0，该方程有两个相等的实根，所以直线与椭圆只有一个公共点．

（2）AP方程为y＝k(x＋2)(k＞0)，则点P坐标为(4，6k)，联立直线与椭圆方程消去y，得(3＋4k2)x2＋16k2x＋16k2―12＝0．设方程两根为x1，x2，由题意知x1＝―2，因为x1x2＝，因此x2＝，代入直线方程得y2＝，即Q(，)，则直线BQ的斜率为kBQ＝－，则直线l的斜率为，所以直线l的方程为y－6k ＝ (x―4)．令x＝0，得y＝－(＋2k)≤－2＝－4（当且仅当k＝1时取“＝”号），

此时直线AP方程为y＝x＋2．

【说明】考查直线与椭圆的位置关系及解几中的最值问题．

知识点：圆锥曲线与方程

题型：解答题