(2019·湖北中考模拟)在Rt△ABC中,∠ACB=90°,BE平分∠ABC,D是边AB上一点,以BD为直径...
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(2019·湖北中考模拟)在Rt△ABC中,∠ACB=90°,BE平分∠ABC,D是边AB上一点,以BD为直径的⊙O经过点E,且交BC于点F
(1)求*:AC是⊙O的切线;
(2)若CF=2,CE=4,求⊙O的半径.
【回答】
(1)见解析;(2)⊙O的半径为5.
【解析】
(1)*:连接OE.
∵OE=OB,
∴∠OBE=∠OEB,
∵BE平分∠ABC,
∴∠OBE=∠EBC,
∴∠EBC=∠OEB,
∴OE∥BC,
∴∠OEA=∠C,
∵∠ACB=90°,
∴∠OEA=90°,
∴AC是⊙O的切线;
(2)解:设⊙O的半径为r.
过点O作OH⊥BF交BF于H,
由题意可知四边形OECH为矩形,
∴OH=CE=4,CH=OE=r,
∴BH=FH=CH-CF=r-2,
在Rt△BHO中,∵OH2+BH2=OB2,
∴42+(r-2)2=r2,
解得r=5.
∴⊙O的半径为5.
【点睛】
本题考查了圆的切线的判定、角平分线和平行线的*质、勾股定理、垂径定理等知识,在圆中常利用勾股定理计算圆中的线段.
知识点:点和圆、直线和圆的位置关系
题型:解答题
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