在數學興趣小組活動中,小亮進行數學探究活動.△ABC是邊長爲2的等邊形,E是AC上一點,小亮以BE爲邊向BE的...
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問題詳情:
在數學興趣小組活動中,小亮進行數學探究活動.△ABC是邊長爲2的等邊形,E是AC上一點,小亮以BE爲邊向BE的右側作等邊三角形BEF,連接CF.
(1)如圖1,當點E在線段AC上時,EF、BC相交於點D,小亮發現有兩個三角形全等,請你找出來,並*.
(2)當點E在線段上運動時,點F也隨着運動,若四邊形ABFC的面積爲,求AE的長.
(3)如圖2,當點E在AC的延長線上運動時,CF、BE相交於點D,請你探求△ECD的面積S1與△DBF的面積S2之間的數量關係.並說明理由.
(4)如圖2,當△ECD的面積S1=時,求AE的長.
【回答】
分析】(1)結論:△ABE≌△CBF.理由等邊三角形的*質,根據SAS即可*;
(2)由△ABE≌△CBF,推出S△ABE=S△BCF,推出S四邊形BECF=S△BEC+s△BCF=S△BCE+S△ABE=S△ABC=,由S四邊形ABCF=,推出S△ABE=,再利用三角形的面積公式求出AE即可;
(3)結論:S2﹣S1=.利用全等三角形的*質即可*;
(4)首先求出△BDF的面積,由CF∥AB,則△BDF的BF邊上的高爲,可得DF=,設CE=x,則2+x=CD+DF=CD+,推出CD=x﹣,由CD∥AB,可得=,即=,求出x即可;
【解答】解:(1)結論:△ABE≌△CBF.
理由:如圖1中,
∴∵△ABC,△BEF都是等邊三角形,
∴BA=BC,BE=BF,∠ABC=∠EBF,
∴∠ABE=∠CBF,
∴△ABE≌△CBF.
(2)如圖1中,∵△ABE≌△CBF,
∴S△ABE=S△BCF,
∴S四邊形BECF=S△BEC+s△BCF=S△BCE+S△ABE=S△ABC=,
∵S四邊形ABCF=,
∴S△ABE=,
∴•AE•AB•siin60°=,
∴AE=.
(3)結論:S2﹣S1=.
理由:如圖2中,
∵∵△ABC,△BEF都是等邊三角形,
∴BA=BC,BE=BF,∠ABC=∠EBF,
∴∠ABE=∠CBF,
∴△ABE≌△CBF,
∴S△ABE=S△BCF,
∵S△BCF﹣S△BCE=S2﹣S1,
∴S2﹣S1=S△ABE﹣S△BCE=S△ABC=.
(4)由(3)可知:S△BDF﹣S△ECD=,∵S△ECD=,
∴S△BDF=,
∵△ABE≌△CBF,
∴AE=CF,∠BAE=∠BCF=60°,
∴∠ABC=∠DCB,
∴CF∥AB,則△BDF的BF邊上的高爲,可得DF=,設CE=x,則2+x=CD+DF=CD+,
∴CD=x﹣,
∵CD∥AB,
∴=,即=,
化簡得:3x2﹣x﹣2=0,
解得x=1或﹣(捨棄),
∴CE=1,AE=3.
【點評】本題考查四邊形綜合題、全等三角形的判定和*質、平行線等分線段定理、解直角三角形等知識,解題的關鍵是正確尋找全等三角形解決問題,學會理由參數構建方程解決問題,屬於中考壓軸題.
知識點:各地中考
題型:選擇題
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