某數學興趣小組在數學課外活動中,研究三角形和正方形的*質時,做了如下探究:在△ABC中,∠BAC=90°,AB...
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問題詳情:
某數學興趣小組在數學課外活動中,研究三角形和正方形的*質時,做了如下探究:在△ABC中,∠BAC=90°,AB=AC,點D爲直線BC上一動點(點D不與B,C重合),以AD爲邊在AD右側作正方形ADEF,連接CF.
(1)觀察猜想
如圖①,當點D在線段BC上時.
①BC與CF的位置關係爲:____________;
②BC,CD,CF之間的數量關係爲:____________;(將結論直接寫在橫線上)
(2)數學思考
如圖②,當點D在線段CB的延長線上時,結論①,②是否仍然成立?若成立,請給予*;若不成立,請你寫出正確結論再給予*;
(3)拓展延伸
如圖③,當點D在線段BC的延長線上時,延長BA交CF於點G,連接GE.若已知AB=2,CD=BC,請求出GE的長.
【回答】
解:①垂直;
② BC = CF+ CD
(2)CF⊥BC成立;BC=CD+CF不成立,CD=CF+BC.
∵正方形ADEF中,AD=AF,∠BAC=∠DAF=90°,
∴∠BAD=∠CAF,
在△DAB與△FAC中,,
∴△DAB≌△FAC,
∴∠ABD=∠ACF,
∴∠BCF=∠ACF﹣∠ACB=135°﹣45°=90°,
∴CF⊥BC.
∵CD=DB+BC,DB=CF,
∴CD=CF+BC.
(3)解:過A作AH⊥BC於H,過E作EM⊥BD於M,EN⊥CF於N,
∵∠BAC=90°,AB=AC,
∴BC=AB=4,AH=BC=2,
∴CD=BC=1,CH=BC=2,
∴DH=3,
由(2)*得BC⊥CF,CF=BD=5,
∵BC⊥CF,EM⊥BD,EN⊥CF,
∴四邊形CMEN是矩形,
∴NE=CM,EM=CN,
又∵∠ADH+∠EDM=90° ,∠EDM+∠DEM=90°,
∴∠ADH=∠DEM.
在△ADH與△DEM中,,
∴△ADH≌△DEM,
∴DH=EM=CN=3.
又∵△BCG是等腰直角三角形,
∴,
∴EG==.
知識點:特殊的平行四邊形
題型:解答題
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