已知F(x)=dt,(x>0).(1)求F(x)的單調區間;(2)求函數F(x)在[1,3]上的最值.
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問題詳情:
已知F(x)=dt,(x>0).
(1)求F(x)的單調區間;
(2)求函數F(x)在[1,3]上的最值.
【回答】
【考點】68:微積分基本定理;6E:利用導數求閉區間上函數的最值.
【分析】(1)由定積分計算公式,結合微積分基本定理算出.再利用導數,研究F'(x)的正負,即可得到函數F(x)的單調增區間是(2,+∞),單調遞減區間是(0,2).
(2)根據F(x)的單調*,分別求出F(1)、F(2)、F(3)的值並比較大小,可得F(x)在[1,3]上的最大值是F(3)=﹣6,最小值是.
【解答】解:依題意得,,
定義域是(0,+∞).
(1)F'(x)=x2+2x﹣8,
令F'(x)>0,得x>2或x<﹣4; 令F'(x)<0,得﹣4<x<2,
且函數定義域是(0,+∞),
∴函數F(x)的單調增區間是(2,+∞),單調遞減區間是(0,2).
(2)令F'(x)=0,得x=2(x=﹣4舍),
由於函數在區間(0,2)上爲減函數,區間(2,3)上爲增函數,
且,,F(3)=﹣6,
∴F(x)在[1,3]上的最大值是F(3)=﹣6,最小值是.
知識點:導數及其應用
題型:解答題
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