如圖，在四棱錐中，是平行四邊形，，，，，，分別是，的中點．（Ⅰ）*：平面平面；（Ⅱ）求二面角的餘弦值．

問題詳情：

如圖，在四棱錐中，是平行四邊形，，，

，，，分別是，的中點．

（Ⅰ）*：平面平面；

（Ⅱ）求二面角的餘弦值．

【回答】

解法一：（Ⅰ）取中點，連

，∵，∴，

∵是平行四邊形，，

，∴，   

∴是等邊三角形，∴，

∵，∴平面， ∴.        ………………………3分

∵分別是的中點，∴∥，∥，

∴，，∵，∴平面，…………………5分

∵平面，∴平面平面. …………………………………………6分

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，，

∴是二面角的平面角. …………………………………………………7分

, ，，……………………………………………9分

在中，根據餘弦定理得，,  ………11分

∴二面角的餘弦值爲.…………………………………………………12分

解法二：（Ⅰ）∵是平行四邊形，，

，∴，

∴是等邊三角形，∵是的中點，

∴，∵∥，

∴. ………………………………………………………………………………1分

分別以，的方向爲軸、軸的正方向，爲座標原點，

如圖建立空間直角座標系.    ……………………………………………………………2分

則，，，，，

設，∵，，解得，，，

∴可得，    ………………………………………………………………4分

∵是的中點，∴，∵，∴，∵，

，∴平面，∵平面，

∴平面平面.…………………………………………………………………6分

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，，，設是平面的

法向量，則，∴， …………………………8分

令，則，  ………………………………………………………9分

又是平面的法向量， …………………………………………………10分

∴， ………………………………………………………11分

∴二面角的餘弦值爲.…………………………………………………12分

注：直接設點，或者說平面，，酌情扣分.

知識點：點 直線 平面之間的位置

題型：解答題