如圖,在平面直角座標系中,四邊形ABCD是平行四邊形,線段AD=6,二次函數y=﹣x2﹣x+4與y軸交於A點,...
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問題詳情:
如圖,在平面直角座標系中,四邊形ABCD是平行四邊形,線段AD=6,二次函數y=﹣x2﹣x+4與y軸交於A點,與x軸分別交於B點、E點(B點在E點的左側)
(1)分別求A、B、E點的座標;
(2)連接AE、OD,請判斷△AOE與△AOD是否相似並說明理由;
(3)若點M在平面直角座標系內,則在直線AB上是否存在點F,使以A、C、F、M爲頂點的四邊形爲菱形?若存在,直接寫出F點的座標,若不存在,請說明理由.
【回答】
【考點】二次函數綜合題.
【分析】(1)分別將x=0和y=0代入可求得A、B、E點的座標;
(2)根據座標求出AO和OE的長,將兩個直角三角形對應小直角邊計算比值爲,對應大直角邊計算比值也是,所以根據兩邊對應成比例,且夾角相等,所以兩三角形相似;
(3)只需要滿足△ACF爲等腰三角形,即可找到對應的菱形,所以構建△ACF爲等腰三角形有四種情況:①以A爲圓心畫圓,交直線AB於F1、F2,②作AC的中垂線交直線AB於F3,③以C爲圓心,以AC爲半徑,畫圓交直線AB於F4,利用勾股定理列式可求得點F的座標.
【解答】解:(1)當x=0時,y=4,
∴A(0,4),
當y=0時,﹣ x2﹣x+4=0,
2x2+x﹣24=0,
(x+3)(3x﹣8)=0,
x1=﹣3,x2=,
∴B(﹣3,0),E(,0);
(2)△AOE與△AOD相似,理由是:
∵A(0,4),
∴OA=4,
∵E(,0),
∴OE=,
∴==, =,
∴,
∵四邊形ABCD是平行四邊形,
∴AD∥BC,
∵BC⊥AO,
∴AD⊥AO,
∴∠OAD=∠AOE=90°,
∴△AOE∽△DAO,
(3)如圖2,在Rt△AOC中,AC=4,OC=3,
∴AC=5,
同理AB=5,
∴△ABC是等腰三角形,
∴當F與B重合時,存在A、C、F、M爲頂點的四邊形爲菱形,
即F1(﹣3,0),
當AF2=AB=5時,△AF2C是等腰三角形,存在A、C、F、M爲頂點的四邊形爲菱形,
此時F2與B關於點A對稱,
∴F2(3,8),
設直線AB的解析式爲:y=kx+b,
把A(0,4),B(﹣3,0)代入得:,
解得:,
∴直線AB的解析式爲:y=x+4,
如圖2,作AC的中垂線l,交直線AB於F3,連接F3C,分別過A、F3作x軸、y軸的平行線,交於H,HF3交x軸於G,
則AF3=F3C,
設F3(x, x+4),
則=,
(﹣x)2+(4﹣x﹣4)2=(﹣x﹣4)2+(﹣x+3)2,
x=﹣,
當x=﹣時,y=×+4=﹣,
∴F3(﹣,﹣);
如圖3,以C爲圓心,以AC爲半徑,畫圓交直線AB於F4,過F4作F4P⊥x軸於P,則AC=F4C,
設F4(x, x+4),
則,
=0,
25x2+42x=0,
x(25x+42)=0,
x1=0(舍),x2=﹣,
當x=﹣時,y=,
∴F4(﹣,),
綜上所述,F點的座標爲:F1(﹣3,0),F2(3,8),F3(﹣,﹣),F4(﹣,).
【點評】本題是二次函數的綜合題,考查了二次函數與兩座標軸的交點、平行四邊形、菱形和等腰三角形的*質和判定、相似三角形的*質和判定,在構建等腰三角形時,分三種情況進行討論,根據腰長相等並與勾股定理相結合列式解決問題.
知識點:二次函數與一元二次方程
題型:綜合題
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