設f(x)＝－x3＋x2＋2ax.(1)若f(x)在上存在單調遞增區間，求a的取值範圍；(2)當0<a&...

問題詳情：

設f(x)＝－x3＋x2＋2ax.

(1)若f(x)在上存在單調遞增區間，求a的取值範圍；

(2)當0<a<2時，f(x)在[1,4]上的最小值爲－，求f(x)在該區間上的最大值．

【回答】

解：(1)f′(x)＝－x2＋x＋2a＝－2＋＋2a.

當x∈時，

f′(x)的最大值爲f′＝＋2a.

令＋2a>0，得a>－.

所以當a>－時，f(x)在上存在單調遞增區間，

即f(x)在上存在單調遞增區間時，a的取值範圍爲.

(2)令f′(x)＝0，得兩根，所以f′(x)在(－∞，x1)，(x2，＋∞)上單調遞減，

在(x1，x2)上單調遞增．

當0<a<2時，有x1<1<x2<4，

所以f(x)在[1,4]上的最大值爲f(x2)，

又f(4)－f(1)＝－＋6a<0，

即f(4)<f(1)．

所以f(x)在[1,4]上的最小值爲f(4)＝8a－＝－，得a＝1，x2＝2，

從而f(x)在[1,4]上的最大值爲f(2)＝.

知識點：函數的應用

題型：解答題