已知函數f（x）=（2﹣a）（x﹣1）﹣2lnx，g（x）=xe1﹣x（a∈R，e爲自然對數的底數），若對任意...

問題詳情：

已知函數f（x）=（2﹣a）（x﹣1）﹣2lnx，g（x）=xe1﹣x（a∈R，e爲自然對數的底數），若對任意給定的x0∈（0，e]，在（0，e]上總存在兩個不同的xi（i=1，2），使得f（xi）=g（x0）成立，則a的取值範圍是（　　）

A．（﹣∞，]   B．（﹣∞，]

C．（，2）       D．[，）

【回答】

A【考點】利用導數求閉區間上函數的最值；利用導數研究函數的單調*．

【分析】根據若對任意給定的x0∈（0，e]，在區間（0，e]上總存在兩個不同的xi（i=1，2），使得f（xi）=g（x0）成立，得到函數f（x）在區間（0，e]上不單調，從而求得a的取值範圍．

【解答】解：∵g'（x）=（1﹣x）e1﹣x，

∴g（x）在（0，1）上單調遞增，在（1，e]上單調遞減，

又因爲g（0）=0，g（1）=1，g（e）=e2﹣e＞0，

∴g（x）在（0，e]上的值域爲（0，1]．

，

當時，f′（x）=0，f（x）在處取得最小值，

由題意知，f（x）在（0，e]上不單調，所以，解得，

所以對任意給定的x0∈（0，e]，在（0，e]上總存在兩個不同的xi（i=1，2），使得f（xi）=g（x0）成立，

當且僅當a滿足條件且f（e）≥1

因爲f（1）=0，所以恆成立，由f（e）≥1解得

綜上所述，a的取值範圍是．

故選：A．

知識點：導數及其應用

題型：選擇題