如圖，在直三棱柱中，，是的中點，.（1）求*：平面；（2）若異面直線和所成角的餘弦值爲，求四棱錐的體積.

問題詳情：

如圖，在直三棱柱中，，是的中點，.

（1）求*：平面；

（2）若異面直線和所成角的餘弦值爲，求四棱錐的體積.

【回答】

（1）見*；（2）3

【解析】

（1）連接，交於點，連結，利用中位線定理*平面．

（2）透過平移，表示出異面直線和所成角，結合正弦定理及三角形面積公式求得．所以可得解．

【詳解】

解法一：

（1）連結，交於點，連結.

在直三棱柱中，四邊形爲平行四邊形，

所以爲的中點，

又爲的中點，所以，

又平面，平面，

所以平面.

（2）因爲，爲銳角，

所以爲異面直線和所成的角，

所以由條件知，

在中，，，

，，

.

又平面，平面，，

所以，

，

，

所以.

解法二：（1）*：取的中點，連結，，，

在直三棱柱中，

四邊形爲平行四邊形，又是的中點，

所以，所以四邊形是平行四邊形，

所以，又平面，平面，

所以平面，

因爲，所以四邊形是平行四邊形，

所以，又平面，平面，

所以平面，

又，平面，

所以平面平面，

又平面，所以平面.

（2）過作於，

因爲平面，平面，所以，

又，平面，所以平面.

因爲，爲銳角，

所以爲異面直線和所成的角，

所以由條件知，

在中，，，

，，

，

又，，，

所以.

【點睛】

本題考查了直線與平面平行的判定，割補法求體積，屬於中檔題．

知識點：空間中的向量與立體幾何

題型：解答題