已知橢圓C:=1()的離心率爲,短軸一個端點到右焦點的距離爲.(Ⅰ)求橢圓C的方程;(Ⅱ)設直線l與橢圓C交於...

問題詳情：

已知橢圓C:=1()的離心率爲,短軸一個端點到右焦點的距離爲.

(Ⅰ) 求橢圓C的方程;

(Ⅱ) 設直線l與橢圓C交於A、B兩點，座標原點O到直線l的距離爲，求△AOB面積的最大值.

【回答】

解：(Ⅰ)設橢圓的半焦距爲，依題意，    ………………1分

∴                                              ………………2分 ∴所求橢圓方程爲.                    ………………3分 (Ⅱ)解法一：設 （i）當軸時，，；                      ………………4分 （ii）當AB與x軸不垂直時，設直線AB的方程爲 由已知，得                    ………………6分 將代入橢圓方程，整理得

恆成立 ∴ ∴                               ………………8分 令

，

當，即時“＝”成立.

∴…………………………………………………………………………11分

∴當最大時，面積取最大值    ……………12分

解法二：(Ⅱ)設，（1）當斜率爲0時，……………4分

（2）當斜率不爲0時，的方程可設爲

因：到的距離爲，則，得………………6分

將代入，整理得：

即得……………………8分

∴

令，則

∴

當，即時，

此時，即，滿足 

∴當最大時，面積取最大值

知識點：圓錐曲線與方程

題型：解答題