中文谷已知橢圓C：()的離心率爲，短軸一個端點到右焦點F的距離爲.（1）求橢圓C的標準方程；（2）過點F的直線l交橢...
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問題詳情：
已知橢圓C：
(
)的離心率爲
，短軸一個端點到右焦點F的距離爲
.
（1）求橢圓C的標準方程；
（2）過點F的直線l交橢圓於A､B兩點，交y軸於P點，設
，
，試判斷
是否爲定值？請說明理由.
【回答】
（1）
；（2）存在，定值爲
.
【分析】
（1）由題意可得
，
，
，可求得橢的圓方程；
（2）設直線
的方程爲
，與橢圓的方程聯立整理得：
，設
，
， 由一元二次方程的根與係數的關係可得
，再根據向量的座標運算表示出
， 
，代入計算可求得定值.
【詳解】
（1）由題可得
，
又
，所以
因此橢圓方程爲
（2）由題可得直線斜率存在，設直線l的方程爲
，
由
消去y，整理得：
，
設
，
，則
，
又
，
，則
，
，
由
可得
，所以
同理可得
，
所以
所以，
爲定值
.
【點睛】
關鍵點點睛：該題考查直線與橢圓的定值問題，關鍵在於聯立方程組，得出交點的座標的關係，將目標條件轉化到交點的座標上去，屬於中檔題目.
知識點：圓錐曲線與方程
題型：解答題
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