如圖，已知BC是⊙O的弦，A是⊙O外一點，△ABC爲正三角形，D爲BC的中點，M爲⊙O上一點，並且∠BMC=6...

問題詳情：

如圖，已知BC是⊙O的弦，A是⊙O外一點，△ABC爲正三角形，D爲BC的中點，M爲⊙O上一點，並且∠BMC=60°．

（1）求*：AB是⊙O的切線；

（2）若E，F分別是邊AB，AC上的兩個動點，且∠EDF=120°，⊙O的半徑爲2，試問BE+CF的值是否爲定值？若是，求出這個定值；若不是，請說明理由．

【回答】

【考點】切線的判定；等邊三角形的*質．

【專題】壓軸題．

【分析】（1）連結OB、OD、OC，如圖1，由於D爲BC的中點，根據垂徑定理的推理得OD⊥BC，∠BOD=∠COD，再根據圓周角定理得∠BOD=∠M=60°，則∠OBD=30°，所以∠ABO=90°，於是根據切線的判定定理得AB是⊙O的切線；

（2）作DM⊥AB於H，DN⊥AC於N，連結AD，如圖2，根據等邊三角形三角形的*質得AD平分∠BAC，∠BAC=60°，則利用角平分線*質得DH=DN，根據四邊形內角和得∠HDN=120°，由於∠EDF=120°，所以∠HDE=∠NDF，接着*△DHE≌△DNF得到HE=NF，於是BE+CF=BH+CN，再計算出BH=BD，CN=OC，則BE+CF=BC，於是可判斷BE+CF的值是定值，爲等邊△ABC邊長的一半，再計算BC的長即可．

【解答】（1）*：連結OB、OD、OC，如圖1，

∵D爲BC的中點，

∴OD⊥BC，∠BOD=∠COD，

∴∠ODB=90°，

∵∠BMC=∠BOC，

∴∠BOD=∠M=60°，

∴∠OBD=30°，

∵△ABC爲正三角形，

∴∠ABC=60°

∴∠ABO=60°+30°=90°，

∴AB⊥OB，

∴AB是⊙O的切線；

（2）解：BE+CF的值是爲定值．

作DH⊥AB於H，DN⊥AC於N，連結AD，如圖2，

∵△ABC爲正三角形，D爲BC的中點，

∴AD平分∠BAC，∠BAC=60°，

∴DH=DN，∠HDN=120°，

∵∠EDF=120°，

∴∠HDE=∠NDF，

在△DHE和△DNF中，

，

∴△DHE≌△DNF，

∴HE=NF，

∴BE+CF=BH﹣EH+CN+NF=BH+CN，

在Rt△DHB中，∵∠DBH=60°，

∴BH=BD，

同理可得CN=OC，

∴BE+CF=OB+OC=BC，

∵BD=OB•cos30°=，

∴BC=2，

∴BE+CF的值是定值，爲．

【點評】本題考查了切線的判定定理：經過半徑的外端且垂直於這條半徑的直線是圓的切線．要*某線是圓的切線，已知此線過圓上某點，連接圓心與這點（即爲半徑），再*垂直即可．也考查了等邊三角形的*質．

知識點：點和圓、直線和圓的位置關係

題型：解答題